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Uma viga extrudada tem seção transversal como mostrado e uma espessura de parede constante e igual a 3 m m . Para uma força cortante vertical de 10 k N , determinar:

  1. A máxima tensão de cisalhamento na viga. Esboçar também o diagrama do fluxo de cisalhamento na seção transversal.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar a tensão cisalhante máxima e o fluxo, para isso temos que calcular a tensão no meio de cada uma das seções:

τ = V Q I b

Em que:

V = c o r t a n t e   a g i n d o   n a   s e ç ã o  

Q = m o m e n t o   e s t á t i c o  

I = m o m e n t o   d e   i n é r c i a  

b = e s p e s s u r a   d a   r e g i ã o   q u e   d e s e j a   s e   s a b e r   a   t e n s ã o  

Para esse ponto, já sabemos algumas coisas que vão ser importantes para a gente, que são:

V = 10   k N

b = 2 × 3 = 6   m m

Agora precisamos determinar o momento estático e o momento de inércia, para isso temos um passo a passo, uma que vamos determinar a LN e um que vamos determinar o momento de inércia e estático, assim, vamos ver isso nos passos seguintes.

Passo 2

Para determinarmos a LN, precisamos determinar a Área e a distância do centroide de cada um dos trechos até a base da nossa peça, assim, podemos dividir a nossa seção em seções mais simples, e assim teremos que:

Assim temos que as áreas 1 e 3 podem ser determinadas diretas, desse modo teremos que:

A 1 = 60 × 3 = 180   m m 2

A 3 = 28 × 3 = 84   m m 2

E a área 2? Essa basta fazermos um Pitágoras para achar o comprimento dela na diagonal e multiplicarmos pela espessura, assim temos que:

L = 16 2 + 30 2 = 34   m m

A 2 = 3 × 34 = 102   m m 2

Basta agora determinarmos a distancia do centroide de cada seção até a base da estrutura, onde teremos que:

Como a espessura é muito pequena, desprezamos ela no cálculo, por esse motivo que y 3 é iguala zero.

Tendo isso tudo podemos calcular a nossa LN pela equação:

y - = y 1 A 1 + 2 y 2 A 2 + y 3 A 3 A 1 + 2 A 2 + A 3

y - = 30 × 180 + 2 × 15 × 102 + 0 × 84 180 + 2 × 102 + 84 = 18,077   m m

Passo 3

Para determinarmos o momento de inércia, precisamos determinar a distância do centroide de cada elemento até a LN, o momento de inércia de cada seção, e a área podemos ficar tranquilos porque já temos, então, vamos determinar primeiro a distancia dos centroides até a a LN.

Para os momentos de inércia, o 2 vai ser o que vamos ter que ter uma atenção maior, mas o 1 e 3 podemos ver o seguinte, sabemos que seu calculo vai ser dado por:

I 1 = 60 t 3 12

I 3 = 28 t 3 12

Como as espessuras são muito pequenas, podemos considerar elas aproximadamente zero, assim definimos que:

I 1 = I 3 = 0

Para I 2 vamos fazer algo diferente do que fizemos na área, lá nos mudamos a altura para o comprimento L e mantivemos a espessura, agora, para facilitar o cálculo, eu vou manter a altura, e modificar a espessura, assim teremos que:

E sabemos que podemos fazer a seguinte relação:

30 34 = t x

x = 34 30 t = 3,4

Assim o momento de inércia em 2 pode ser visto como:

I 2 = 3,4 × 30 3 12 = 7650   m m 4

Assim a nossa equação para o momento de inércia vai ser dada por:

I = A 1 d 1 2 + 2 ( I 2 + A 2 d 2 2 ) + A 3 d 3 2

Substituindo, teremos que:

I = 180 × 11,923 2 + 2 7650 + 102 × 3,077 2 + 84 × 18,077 2 = 70,3 × 10 3   m m 4

Agora só precisamos do nosso momento estático.

Passo 4

Para o momento estático precisamos determinar a área acima do ponto que queremos calcular a tensão cisalhante, e a distância dessa área até a nossa LN, mas, no caos de espessuras muito finas, usamos a própria área da espessura e a distancia dela até a nossa LN, ou seja, como o ponto A está em cima, basta usarmos os seguintes dados:

Q = A 1 y 1 = 180 × 11,923 = 2146,14   m m 3

  • Tensão no ponto A
  • τ = V Q I b = 10   k N .     2146,14 [ m m 3 ]       70,3   . 10 3   [ m m 4 ]     .   6,0   [ m m ] = 0,0509 k N m m 2 = 50,9   M P a

    E assim temos o seguinte fluxo de tensões até agora.

    Como queremos também a tensão cisalhante máxima, basta pegarmos o momento estático acima da LN.

    Passo 5

    Assim temos que:

    Perceba que já sabemos que a nossa espessura pode ser usada como horizontal e nossa altura como vertical, assim, podemos aproximar a nossa área 2 acima da LN como sendo:

    A 2 = 3,4 × 11,923 = 40,5382   m m 2

    Assim, podemos definir o nosso momento estático como sendo:

    Q = A 1 y 1 + 2 A 2 y 2

    Q = 180 × 11,923 + 2 × 40,5382 × 11,923 2 = 2146 + 484 = 2630   m m 3

    Assim podemos calcular a máxima tensão de cisalhamento que ocorre na nossa estrutura:

  • Tensão Máxima
  • τ = V Q I b = 10   k N .     2 630 [ m m 3 ]       70,3   . 10 3   [ m m 4 ]     .   6,0   [ m m ] = 0,0624 k N m m 2 = 62,4   M P a

    Assim o nosso fluxo de cisalhamento passa a ser:

    Passo 6

    Agora só precisamos determinar as tensões na parte inferior, e o principio é muito parecido com o que fizemos na parte de cima, basta termos a área e a distancia dela até a nossa LN, mas na parte de baixo, assim vamos ter que:

    Q = A 3 y 3 = 84 × 18,077 = 1518,5   m m 3

  • Tensão inferior

τ = V Q I b = 10   k N .     1518,5   [ m m 3 ]       70,3   . 10 3   [ m m 4 ]     .   6,0   [ m m ] = 0,036 k N m m 2 = 36   M P a

E assim podemos fechar o nosso fluxo da seguinte maneira:

Resposta

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