Enunciado

Sabendo que a viga AD é feita de uma barra de aço com seção transversal cheia, determine (a) a inclinação no ponto B e (b) a deflexão no ponto A. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Agora vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto D para descobrir o valor da reação no ponto B, então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

- 1,2 0,7 - B y 0,5 + 3 0,25 0,25 + 0,25 2 = 0 → B y = - 1,12   k N

E, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

1,2 - 1,12 - 3 0,25 + D y = 0 → D y = 0,67   k N

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < 0,2   m , para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M - 1,2 x = 0 → M = 1,2 x

Passo 3

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre B e C, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M - 1,2 x + 0,2 + 1,12 x + 3 x x 2 = 0

M = 1,2 x + 0,2 - 1,12 x - 1,5 x 2  

Agora, estendendo a seção até algum ponto entre C e D, teremos o seguinte DCL:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto H, teremos:

+ ↺ ∑ M H = 0

M - 1,2 x + 0,45 + 1,12 ( x + 0,25 ) + 3 x + 0,25 x + 0,25 2 = 0

M =   1,2 x + 0,45 - 1,12 x + 0,25 - 1,5 x + 0,25 2

Com as equações para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela força localizada de 1,2 kN, que chamaremos de momento 1, o causado pela reação no ponto B, que chamaremos de momento 2, e o causado pelo carregamento distribuído, que chamaremos de momento 3, então teremos:

M 1 = 1,2 x   0 < x < 0,7   m

M 2 = - 1,12 x 0,2 < x < 0,7   m

M 3 = - 1,5 x 2   0,2 < x < 0,7   m

Passo 4

Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e D para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 B = 1,2 0,2 → M 1 B = 0,24   k N . m

M 1 D = 1,2 0,7 → M 1 D = 0,84   k N . m

M 2 B = 0

M 2 D = - 1,12 0,5 → M 2 D = - 0,56   k N . m

M 3 B = 0

M 3 D = - 1,5 0,5 2 → M 3 D = - 0,375   k N . m

Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 5

Agora vamos precisar calcular o termo EI. Para isso, vamos começar calculando o momento de inércia para a viga, no nosso caso, como temos uma seção retangular, o momento será:

I = b h 3 12 = 0,03 0,03 3 12 → I = 67,5.10 - 9   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 67,5.10 - 9 → E I = 13500   N . m 2 = 13,5   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = 0,2 0,24 13,5 2 → A 1 = 1,778.10 - 3

x - 1 = b 3 = 0,2 3 → x - 1 = 0,06667   m

A 2 = b h 2 = 0,5 0,84 - 0,24 13,5 2 → A 2 = 11,111.10 - 3

x - 2 = b 3 = 0,5 3 → x - 2 = 0,1667   m

A 3 = b h = 0,5 0,24 13,5 → A 3 = 8,889.10 - 3

x - 3 = b 2 = 0,5 2 → x - 3 = 0,25   m

A 4 = b h 2 = 0,5 - 0,56 13,5 2 → A 4 = - 10,37.10 - 3

x - 4 = b 3 = 0,5 3 → x - 4 = 0,1667   m

A 5 = b h 3 = 0,5 - 0,375 13,5 3 → A 5 = - 4,63.10 - 3

x - 5 = b 4 = 0,5 4 → x - 5 = 0,125   m

Passo 6

Beleza, agora, sabemos que a inclinação no ponto B pode ser encontrada através da equação 9.22 vista nessa seção, onde teremos:

θ B = - t D / B L

E, sabemos que o desvio tangencial do apoio D em relação a B é dado por:

t D / B = A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + A 4 x - 4 + A 5 x - 5

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t D / B = 11,111.10 - 3 0,1667 + 8,889.10 - 3 0,25 + - 10,37.10 - 3 0,1667 + - 4,63.10 - 3 0,125

t D / B = 1,767.10 - 3

Então a inclinação em B será:

θ B = - t D B L = - 1,767.10 - 3 0,5 → θ B = - 3,534.10 - 3   r a d

Passo 7

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, onde para o nosso caso, teremos:

t A / B = A A B x - - θ B x B

Em que A A B é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t A - t B = A 1 x - 1 - θ B x B

Sabendo que não teremos deflexão em B devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t A - 0 = 1,778.10 - 3 0,2 - 0,06667 - - 3,534.10 - 3 0,2

t A = 0,944.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a : θ B = - 3,534.10 - 3   r a d

b : t A = 0,944.10 - 3   m

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Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação no ponto C e (b) a deflexão no ponto D. Use E = 200 GPa.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação na extremidade A, (b) a inclinação na extremidade B e (c) a deflexão no ponto médio C.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a intensidade e localização da maior deflexão para baixo. Viga e carregamento do Problema 9.126.