Enunciado

A viga mostrada na figura suporta uma força concentrada P e seu centro. Se for feita de uma chapa com largura constante b , determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga

Passo 1

Vamos observar a viga e a seção transversal:

Pra resolver essa questão basta aplicar a equação da flexão. A única diferença será determinar uma equação que represente o momento de inércia e o ponto de aplicação do momento, já que a altura da viga é variável.

Outra coisa a se notar é a seguinte: já que o momento de inércia varia, não podemos garantir que a tensão máxima ocorrerá no meio da viga! Então como iremos determinar este ponto?

  • Encontramos as reações de apoio
  • Encontramos uma equação para o momento fletor M(x)
  • Encontramos uma equação para o momento de inércia I(x)
  • Aplicamos a equação da flexão σ x = M x ⋅ c ( x ) I ( x )
  • Derivamos e igualamos a equação da flexão a zero para encontrar o ponto de máximo d σ x d x = 0

Para facilitar nossas contas, vamos levar em consideração que a viga é simétrica, e consequentemente seus esforços e tensões são simétricos. Então faremos todos esses cálculos apenas para uma metade da viga!

Passo 2

Como esta viga é perfeitamente simétrica, com apoios simétricos e força centralizada, as reações de apoio são:

R A = R B = P 2

Passo 3

Vamos gerar equações para os esforços internos para a primeira metade da viga

∑ F Y = 0 ⇒ P 2 - V x = 0 ⇒ V x = P 2

∑ M = 0 ⇒ - P 2 x + M x = 0 ⇒ M x = P 2 x

Passo 4

Vamos definir as equações que representem as propriedades geométricas da viga:

c x = h x 2

I = b ⋅ h x 3 12

Passo 5

Mas também é preciso definir: Qual é o comportamento de h ( x ) ?

Por simplicidade, vamos olhar um dos lados da viga:

Observando a viga sabemos que é uma função linear

h x = a x + b

E que varia entre:

h 0 = h 0

h L 2 = 2 h 0

Vamos resolver esse sistema:

h 0 = h 0 ⇒ a ⋅ 0 + b = h 0

b = h 0

h L / 2 = h 0 ⇒ a ⋅ L / 2 + b = 2 h 0

a = 2 h 0 L

Assim, a função que representa a altura é:

h x = 2 h 0 L x + h 0

Em evidência:

h x = h 0 L ( 2 x + L )

Passo 6

Pronto! Agora só aplicar na equação da flexão

σ x = M x ⋅ c ( x ) I ( x )

σ x = P 2 x ⋅ h x 2 b ⋅ h x 3 12

σ x = P 2 x ⋅ h x 2 12 b ⋅ h x 3

σ x = 3 P x b ⋅ h x 2

Substituindo h ( x ) :

σ x = 3 P x L 2 b h 0 2 ⋅ 2 x + L 2

Passo 7

Para encontrar o ponto máximo vamos derivar e igualar a zero a equação da flexão:

d σ d x = 0

3 P L 2 ⋅ b h 0 2 ⋅ 2 x + L 2 - 3 P x L 2 ⋅ 2 b h 0 2 ( 2 x + L ) ( 2 ) b h 0 2 ⋅ 2 x + L 2 2 = 0

Joga o denominador pro outro lado:

3 P L 2 ⋅ b h 0 2 ⋅ 2 x + L 2 - 3 P x L 2 ⋅ 4 b h 0 2 2 x + L = 0

Botamos algumas constantes em evidência:

3 P L 2 b h 0 2 ⋅ [ 2 x + L 2 - 4 x 2 x + L ] = 0

E jogamos pro outro lado:

2 x + L 2 - 4 x 2 x + L = 0

Vamos colocar em evidência:

2 x + L [ 2 x + L - x ⋅ 2 2 ] = 0

Dessa situação temos duas hipóteses

  • 2 x + L = 0 ⇒ x = L 2
  • 2 x + L - x ⋅ 2 2 = 0 ⇒ x = L 2

Assim, o ponto de máxima tensão é:

x m a x = L 2

Passo 8

Pra finalizar, aplicamos o valor de x m a x na equação da flexão

σ L 2 = 3 P L 2 L 2 b h 0 2 ⋅ 2 L 2 + L 2

σ m a x = 3 P L 3 2 b h 0 2 ⋅ 4 L 2

σ m a x = 3 P L 8 b h 0 2

Resposta

σ m a x = 3 P L 8 b h 0 2

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