Enunciado

Uma viga de seção transversal assimétrica está submetida a um momento M z atuando em um plano vertical. Mostre que a tensão no ponto A de coordenadas y   e z , é:

σ A = - y I y - z I y z I y I z - I y z 2   M z

Onde I y ,   I z e I y z expressam os momentos e produto de inércia da seção transversal, em relação aos eixos centroidais y e z .

Passo 1

Olha, aqui a gente vai ter que montar uma expressão para essa tensão causada pelo momento em z e tentar chegar em:

σ A = - y I y - z I y z I y I z - I y z 2   M z

Se a gente considerar que as tensões permanecem dentro do limite de proporcionalidade do material (regime elástico), dizemos que a tensão no ponto A é proporcional a distância dele ao eixo z e ao eixo y .

Com isso, podemos escrever uma expressão genérica para σ A :

σ A = c 1 y + c 2 z

Onde c 1 e c 2 são constantes. Aí a gente pode achar o valor dessas constantes para a situação do enunciado. Vem comigo!

Passo 2

Podemos lembrar que uma fórmulinha para o somatório de momentos em relação a y é:

M y = ∫ z σ x d A

E se a gente substituir nossa expressão para a tensão:

M y = ∫ z c 1 y + c 2 z d A = c 1 ∫ z y d A + c 2 ∫ z 2 d A

Mas repara que essa primeira integral que apareceu é a definição de I y z e a segunda é a definição de I y :

M y = c 1 I y z + c 2 I y

E agora a gente pode lembrar que no nosso problema, só há momento em z . Então o momento em relação a y é zero:

M y = 0 ∴ c 1 I y z + c 2 I y = 0 ∴ c 2 = - c 1 I y z I y

Passo 3

O somatório de momentos em relação a z tem uma carinha parecida:

M z = - ∫ y σ x d A

Substituindo nossa tensão:

M z = - ∫ y c 1 y + c 2 z d A = - c 1 ∫ y 2 d A - c 2 ∫ y z d A

De novo aparece as definições de I z na primeira integral e de I y z na segunda:

M z = - c 1 I z - c 2 I y z

Mas a gente tem uma expressãozinha para c 2 :

M z = - c 1 I z - - c 1 I y z I y I y z ∴ c 1 = M z I y z 2 I y - I z = I y M z I y z 2 - I z I y

E voltando para achar c 2 :

c 2 = - c 1 I y z I y = - I y M z I y z - I z I y I y z I y = - I y z M z I y z 2 - I z I y

Passo 4

Podemos voltar lá para nossa expressão e substituir as constantes:

σ A = c 1 y + c 2 z

σ A = I y M z I y z 2 - I z I y y + - I y z M z I y z 2 - I z I y z

σ A = y I y - z I y z I y z 2 - I z I y   M z = - y I y - z I y z I z I y - I y z 2   M z

Olha só! Era onde a gente queria chegar. Arrasamos!

Resposta

Prova nos passos

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