Enunciado

Mostrar que: (a) Se uma força vertical P é aplicada no ponto A da seção mostrada, a equação do eixo neutro B D é

x A k z 2 x + z A k x 2 z = - 1

Onde k z e k x , expressam os raios de giração da seção transversal em relação ao eixo z e no eixo x , respectivamente; (b) Se uma força vertical Q é aplicada em qualquer ponto localizado sobre a linha B D , a tensão no ponto A será nula.

Passo 1

(a) Vamos pensar assim: se temos um ponto E na seção, onde a tensão é nula, esse ponto está na linha neutra da seção. Vamos dar coordenadas genéricas para E :

E = ( x , z )

Agora a gente lembra que para esses eixos, a equação da tensão normal em um ponto E   para uma seção com uma força pontual aplicada é:

σ E = F A - M x z I x + M z x I z

Lembrando que o sinal de menos fica no termo com o momento que causa compressão na parte positiva dos eixos.

Maasss a tensão em E a gente disse que é nula porque ele está na linha neutra:

0 = F A - M x z I x + M z x I z

Agora a gente tem uma equação onde as únicas variáveis são x e z , que representa o conjunto de pontos onde σ = 0 , ou seja, ela representa a linha neutra.

Bora partir dela para chegar na equação do enunciado!

Passo 2

Vamos calcular os esforços internos no centroide da seção, causados por P . Temos essas componentes:

- Força axial entrando na seção:

F = - P

- Momentos, de acordo com os eixos coordenados:

M x = P z A

M z = - P x A

Passo 3

Vamos substituir essas coisas na fórmulinha:

0 = F A - M x z I x + M z x I z

0 = - P A - P z A z I x - P x A x I z ∴ - P A 1 + A z A z I x + A x A x I z = 0

1 + A z A z I x + A x A x I z = 0

Maas, aqui a gente lembra da definição de raio de giração:

k x 2 = I x A ,     k z 2 = I z A

Por ter colocado aquele termo em evidência, a gente vê esses raios aparecem na nossa equação:

1 + z A z k x 2 + x A x k z 2 = 0 ∴ z A k x 2 z + x A k z 2 x = - 1

Uhul! Chegamos na equação do enunciado!

Passo 4

(b) Vamos achar a expressão para tensão causada em A pela força Q , sabendo que ela está sendo aplicada no ponto E que satisfaz:

z A k x 2 z + x A k z 2 x = - 1

E provar que essa tensão vale zero. Bora!

Passo 5

A gente vai usar a mesma fórmulinha, mas no ponto A :

σ A = F A - M x z A I x + M z x A I z

Vamos calcular os esforços internos no centroide da seção, causados por Q , que está sendo aplicada em E = ( x , z ) . Temos essas componentes:

- Força axial entrando na seção:

F = - Q

- Momentos, de acordo com os eixos coordenados:

M x = Q z E = Q z

M z = - Q x E = - Q x

Passo 6

Agora vamos jogar essas coisas na fórmulinha:

σ A = F A - M x z A I x + M z x A I z

σ A = - Q A - Q z ⋅ z A I x - Q x ⋅ x A I z ∴ σ A = - Q A 1 + A z A z I x + A x A x I z

σ A = - Q A 1 + z A k x 2 z + x A k z 2 x

Mas a gente sabe que para x e z , vale:

z A k x 2 z + x A k z 2 x = - 1 ∴ z A k x 2 z + x A k z 2 x + 1 = 0

Então:

σ A = - Q A 1 + z A k x 2 z + x A k z 2 x = - Q A ⋅ 0 = 0

E isso é o que ele pede para provar! Arrasamos!

Resposta

Prova nos passos

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