Enunciado

Uma viga com a seção transversal mostrada está submetida a um momento M 0 , que atua em um plano vertical. Determinar o maior valor permissível do momento fletor M 0 , se a máxima tensão na viga não exceder a 2 00   M P a .

Passo 1

Para achar esse valor de M 0 , precisamos primeiro achar os eixos principais de momento de inércia dessa seção. E para isso, a gente precisa achar I y , I z e I y z :

Dividindo ela nesses retângulos, a gente pode usar o teorema dos eixos paralelos e calcular:

I = b h 3 12

I y = ∑ I i + A y - i 2

I y = 2 0,1 ⋅ 0,05 3 + 0,05 ⋅ 0,1 0,1 2 + 2 0,05 ⋅ 0,1 3 + 0,1 ⋅ 0,05 0,025 2

I y = 231 , 25 ⋅ 10 - 6 m 4

I z = ∑ I i + A z - i 2

I z = 2 0,05 ⋅ 0,1 3 + 2 0 , 1 ⋅ 0 , 05 3 + 0 , 1 ⋅ 0 , 05 0 , 025 2 = 131 , 25 ⋅ 10 - 6   m 4

E para calcular o produto de inércia:

I y z = ∑ I y z i + A y - i z - i

Como os retângulos são simétricos, todos os I y z i   valem zero. E aí temos:

I y z = 0,1 ⋅ 0,05 ⋅ 0,1 ⋅ 0 + 0,1 ⋅ 0,05 ⋅ - 0,1 ⋅ 0 + 0,05 ⋅ 0,1 ⋅ 0,025 ⋅ - 0,025 +

+ 0,05 ⋅ 0,1 ⋅ - 0,025 ⋅ 0,025 = - 6,25 ⋅ 10 - 6 m 4

Passo 2

Agora a gente vai usar o círculo de Mohr para descobrir os momentos de inércia dos eixos principais.

d = I z - I y 2 = 50 ⋅ 10 - 6

R = d 2 + I y z 2 = 50,4 ⋅ 10 - 6   m 4

I v = I m á x = I y + I z 2 + R = 231,4 ⋅ 10 - 6   m 4

I u = I m í n = I y + I z 2 - R = 130,6 ⋅ 10 - 6 m 4

Olha como ficou:

O mais fácil é girar esse segmento no sentido horário, então nosso ângulo vai estar nessa direção e vai valer:

t g 2 θ m = I y z d ∴ θ m = - 3,56 °

Passo 3

Agora a gente tem que descobrir onde é a linha neutra. Isso porque a tensão máxima ocorre nos pontos mais distantes dela. A gente descobre isso pela fórmulinha:

t g   ϕ = I v I u   t g   θ m

Onde ϕ é o ângulo entre a linha neutra e o eixo v . Substituindo os nossos dados:

t g   ϕ = 231,4 ⋅ 10 - 6 130 , 6 ⋅ 10 - 6   t g   ( - 3,56 ° )

ϕ = - 6,29 °

Nossa linha neutra está nessa posição:

Vemos que os pontos mais distantes da nossa linha neutra são A   e B . Eles terão as tensões máximas.

Passo 4

Vamos usar a relação de tensão no ponto A , já que a distância entre a linha neutra e ele é semelhante à distância entre a linha neutra e B . Com ela, podemos descobrir o momento máximo. Ela vai ter essa carinha:

σ A = - M v U A I v + M u V A I u

Vamos projetar o nosso momento M 0 , que está na direção do eixo z , nos eixos principais:

M v = M 0 cos ⁡ θ m = M 0 cos ⁡ ( - 3,56 ° ) ,     M u = M 0   s e n   θ m = M 0   s e n   ( - 3,56 ° )

E achar U A e V A .

U A = - z A   s e n   θ m + y A cos ⁡ θ m = - 0,05   s e n   ( - 3,56 ° ) + 0 , 125 cos ⁡ ( - 3,56 ° ) = 0 , 128   m  

V A = - ( z A   c o s   θ m + y A sen ⁡ θ m ) = - ( 0,05   c o s   ( - 3,56 ° ) + 0 , 125 sen ⁡ ( - 3,56 ° ) ) = - 0 , 0421   m

Passo 5

O enunciado diz que:

σ m á x = 2 00   M P a = 2 00 ⋅ 10 6   M P a

Como no ponto A temos compressão:

σ m á x A = - 2 00   M P a = - 2 00 ⋅ 10 6   M P a

σ A = - M v U A I v + M u V A I u

- 2 00 ⋅ 10 6 = - ( M 0 cos ⁡ ( - 3,56 ° ) ) ⋅ 0 , 128 231,4 ⋅ 10 - 6   + M 0   s e n   ( - 3,56 ° ) ⋅ ( - 0,0 421 ) 130,6 ⋅ 10 - 6

M 0 = 378   k N ⋅ m

Ufa!

Resposta

M 0 = 3 78   k N ⋅ m

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O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada conforme mostra a figura. Determine:O ângulo que a linha neutra forma com a horizontal e.A tensão de tração máxima na viga.
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