Enunciado

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada conforme mostra a figura. Determine:

  1. O ângulo que a linha neutra forma com a horizontal e.
  2. A tensão de tração máxima na viga.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

E por fim, ainda temos que determinar o ângulo que a LN faz com a horizontal, e para isso usaremos a seguinte conta:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

θ = â n g u l o   e n t r e   o   m o m e n t o   f l e t o r e   a p l i c a d o   e   a   h o r i z o n t a l

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, para isso, precisamos prestar a atenção que devemos abrir os momentos na direção da nossa seção, assim, podemos ver o seguinte:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como podemos ver no caso anterior, a LN está na posição de simetria, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Sabemos que com relação ao eixo Z, temos o momento de inércia referente a um triangulo, e nesse caso, o momento de inércia ligado ao triangulo é dado por:

    I z z = b h 3 36

    Olhando a nossa seção temos que:

    I z z = 50 × 90 3 36 = 1012500   m m 4

    Precisamos determinar a tensão máxima de tração, que nesse caso ocorre na parte inferior da seção, assim o valor de y será dada por:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima de tração, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ t r a ç ã o = - M z y t r a ç ã o I z z

    Com isso teremos que:

    M z = 704,8   N m = 704800   N m m

    I z z = 1012500   m m 4

    y t r a ç ã o = - 30   m m

    σ t r a ç ã o = - M z y t r a ç ã o I z z = - 704800 N m m   - 30 m m 1012500   m m 4 = 20,88 N m m 2

    σ t r a ç ã o = 20,88   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Podemos assim ter o seguinte momento de inércia:

I y y = 2 b h 3 36 + A d 2 = 2 90 × 25 3 36 + 25 × 90 2 × 8,33 2 = 234250   m m 4

Nessa seção temos que determinar a tensão máxima de tração, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ t r a ç ã o = M y z t r a ç ã o I y y

Com isso teremos que:

M y = 256,5   N m = 256500   N m m

I y y = 234250   m m 4

Z t r a ç ã o = 25   m m

σ t r a ç ã o = M y z t r a ç ã o I y y = 25650 0 N m m   25 m m 234250   m m 4 = 27,37 N m m 2

σ t r a ç ã o = 27 , 37   M P a

E assim podemos determinar a máxima tensão de tração:

σ t r a ç ã o = 20,88 + 27 , 37 = 48,3   M P a  

Passo 3

Agora determinado o ângulo que a LN faz com a horizontal, lembrando que devemos usar a seguinte fórmula:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

E sabemos que:

I z z = 1012500   m m 4

I y y = 234250   m m 4

θ = 2 0 °

T g   ∅ = 1012500 234250   t a g 2 0 ° = 1,573

∅ = 57,6 °

E como sabemos que a seção já está girada a 20 ° com relação a horizontal, teremos que a rotação da LN com relação a horizontal vai ser exatamente a diferença entra a rotação total e a rotação da seção, assim temos que:

 n g u l o   L N x h o r i z o n t a l = 57,6 ° - 20 ° = 37,6 °

Resposta

  1. 37,6 °
  2. σ t r a ç ã o = 48,3   M P a  
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