Enunciado

Uma viga está sendo projetada para ser vinculada e carregada conforme mostra a figura. (a) Usando funções de singularidade, encontre a intensidade e a localização do momento fletor máximo na viga. (b) Sabendo que a tensão normal admissível para o aço a ser utilizado é de 165 MPa, encontre o perfil de mesa larga mais econômico que pode ser utilizado.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto B e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M B = 0

- R A 15 + 2,4 15 7,5 + 12 9 + 12 ( 3 ) = 0

15 R A = 414 → R A = 27,6   k i p s

Agora podemos escrever a equação para a força cortante, já que temos todas as forças aplicadas e os pontos onde são aplicadas, só lembrando que como temos carregamento distribuído, ele possui ordem 1 na equação de singularidade para a força cortante. Sendo assim, considerando a origem no ponto A, com x = 0 , a equação para a força cortante será:

V = 27,6 - 2,4 x - 12 < x - 6 > 0 - 12 < x - 12 > 0

Passo 2

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ 27,6 - 2,4 x - 12 < x - 6 > 0 - 12 < x - 12 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = 27,6 x - 2,4 2 x 2 - 12 < x - 6 > 1 - 12 < x - 12 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = 27,6 x - 1.2 x 2 - 12 < x - 6 > 1 - 12 < x - 12 > 1

Passo 3

Agora para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:

V = 27,6 - 2,4 x - 12 < x - 6 > 0 - 12 < x - 12 > 0 = 0

Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. Então, começando pelo primeiro intervalo, em 0 < x < 6 teremos:

27,6 - 2,4 x - 12 x - 6 0 - 12 x - 12 0 = 0

27,6 - 2,4 x - 12 0 - 12 0 = 0 → x = 11,5   f t

O valor de x encontrado está fora do intervalo de análise, dessa forma não temos um ponto de máximo nesse intervalo. Vamos agora considerar o intervalo 6 < x < 12 , onde teremos:

27,6 - 2,4 x - 12 x - 0 0 - 12 x - 12 0 = 0

27,6 - 2,4 x - 12 x - 6 0 - 12 0 = 0

27,6 - 2,4 x - 12 1 = 0 → x = 6,5   f t

Opa! Achamos um valor dentro do intervalo de análise. Vamos ver agora se temos outro valor de máximo no último intervalo, em 12 < x < 1 5 , então teremos:

27,6 - 2,4 x - 12 x - 0 0 - 12 x - 12 0 = 0

27,6 - 2,4 x - 12 x - 6 0 - 12 x - 12 0 = 0

27,6 - 2,4 x - 12 1 - 12 ( 1 ) = 0 → x = 1,5   f t

Nããão! Esse valor também não está no intervalo de análise. Então o único valor possível será:

x = 6,5   f t

Essa é a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de x na equação que encontramos para o momento lá no passo 2. Então, fazendo isso, teremos:

M m a x = 27,6 ( 6,5 ) - 1.2 6,5 2 - 12 < 6,5 - 6 > 1 - 12 < 6,5 - 12 > 1

M m a x = 179,4 - 50,7 - 12 0,5 - 12 0 → M m a x = 122,7   k i p . f t

Passo 4

Beleza! Agora para a letra (b), nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

Como o enunciado nos pede o perfil de uma viga de mesa larga (viga W), podemos usar a propriedade módulo de resistência elástico do perfil, que é dado por:

W = I c

Substituindo essa expressão na equação para a tensão, ela se torna:

σ = M W

Agora, vamos converter o valor de momento encontrado no passo 3 para unidades do sistema internacional, para que possamos comparar com os valores de W lá do apêndice C. Então, sabendo que:

1   k i p = 4448,22   N

1   f t = 0,3048   m

Nosso momento será:

M m a x = 122,7   k i p . f t 4448,22   N 1   k i p 0,3048   m 1   f t → M m a x = 166358,8   N . m

Então, agora vamos calcular o valor do módulo de resistência elástico que o perfil adequado deve ter, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ = M W → 165.10 6 = 166358,8 W → W = 1,0082.10 - 3   m 3

Como queremos o perfil mais econômico, devemos começar olhando os menores perfis, até chegar em um que possua no mínimo o módulo de resistência elástico encontrado. E, com esse valor de W , lá do apêndice C, vemos que podemos utilizar o seguinte perfil:

W 250   X   101

Pois ele possui W = 1,24.10 - 3   m 3 . Proonto! Conseguimos encontrar o perfil mais econômico para o nosso caso.

Resposta

a :   x = 6,5   f t

a : M m a x = 122,7   k i p . f t

b : W 250   X   101

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