Enunciado

A viga A B tem uma seção transversal retangular de largura b constante e a altura h variável. Sabendo-se que a viga deve ser de resistência constante, expressar h , em termos de x ,   L e h 0 .

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Para resolver esse problema a gente vai ter que achar uma o nosso h como uma função de x . Para isso a gente vai ter que utilizar principalmente aquela nossa equação da tensão admissível.

σ a d m = M W

Então a gente tem que basicamente achar o momento fletor dessa viga e o módulo de resistência dela.

vamos fazer isso para duas situações, um ponto qualquer x e um ponto específico x = L daí é só comparar os dois resultados, então partiu?

Passo 2

Primeiro vamos observar a seção desta viga, que como o problema diz é retangular:

Tranquilo né? Mas mesmo sendo tranquilo é muito importante entender que a seção sempre será um retângulo, a única coisa que vai mudar é a altura.

Então vamos calcular o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Como temos um retângulo o momento de inércia é dado por:

I = 1 12 b h 3

e, como a linha neutra se localiza no centro do retângulo, a distância c é igual a:

c = h 2

Substituindo no módulo resistente:

W = b h 3 12 h 2

W = b h 2 6

Show de bola!

Passo 3

Vamos fazer um desenho simplificado da nossa viga afim de achar as forças de reação em B .

Fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

R y - w 0 + 0 2 × L = 0

R y = w 0   L 2

Agora vamos achar o momento fletor puro M B :

∑ M B = 0

M B + w 0 + 0 2 ×   L × 1 3 L = 0

M B = - w 0 L 2 6

Passo 4

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Como o problema nos forneceu uma equação para o carregamento vamos utilizar esssa equação para achar o momento fletor.

Mas como a gente faz isso? Basta integrar duas vezes da primeira a gente encontra a força cortante e da segundo o momento fletor:

V x = - ∫ w x   d x

Esse sinal negativo é da fórmula hein! Não pode esquecer!

V x = - ∫ w 0 L x   d x

Resolvendo a integral ficamos com:

V x = - w 0 2 L x 2

Agora é só integrar novamente e vamos achar o momento fletor:

M x = ∫ V x   d x

Repare que agora não existe o sinal negativo!

M x = ∫ - w 0 2 L x 2   d x

M x = - w 0 6 L x 3

Passo 5

Estamos quase no fim! UHULLLLL

Agora chegamos no ponto mais importante desta questão que é aplicar o momento fletor M em conjunto com o nosso módulo resistente W e comparar com a tensão admissível σ a d m da seguinte forma:

σ a d m = M W

Lembrando que:

W = b h 2 6

e

M = w 0 6 L x 3

Obs: Aqui só nos interessa o módulo ok!?

Vamos substituir os valores que calculamos:

σ a d m = w 0 6 L x 3 b h 2 6

Simplificando:

σ a d m = w 0 b L h 2 x 3

Essa valor que achamos é para qualquer ponto x da nossa viga, logo, deve valer também para x = L que ficará da seguinte forma:

W = b h 0 2 6

M = w 0 6 L L 3

M = w 0 L 2 6

Substituindo em..

σ a d m = M W

Vamos obter:

σ a d m = w 0 L 2 6 b h 0 2 6

Simplificando:

σ a d m = w 0 L 2 b h 0

Passo 6

Viram que temos duas equações com σ a d m ? Então agora é só igualar as duas:

σ a d m = w 0 b L h 2 x 3

E

σ a d m = w 0 L 2 b h 0

Igualando:

w 0 b L h 2 x 3 = w 0 L 2 b h 0

Simplificando:

1 h 2 x 3 = L h 0

Agora é só isolar o h :

h = x 3 L   .   h 0

Resposta

h = x 3 L   .   h 0

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