Enunciado

A viga A B tem uma seção transversal retangular de largura b constante e a altura h variável. Sabendo-se que a viga deve ser de resistência constante, expressar h , em termos de x ,   L e h 0 .

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Para resolver esse problema a gente vai ter que achar uma o nosso h como uma função de x . Para isso a gente vai ter que utilizar principalmente aquela nossa equação da tensão admissível.

σ a d m = M W

Então a gente tem que basicamente achar o momento fletor dessa viga e o módulo de resistência dela.

vamos fazer isso para duas situações, um ponto qualquer x e um ponto específico x = L / 2 daí é só comparar os dois resultados, então partiu?

Passo 2

Primeiro vamos observar a seção desta viga, que como o problema diz é retangular:

Tranquilo né? Mas mesmo sendo tranquilo é muito importante entender que a seção sempre será um retângulo, a única coisa que vai mudar é a altura.

Então vamos calcular o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Como temos um retângulo o momento de inércia é dado por:

I = 1 12 b h 3

e, como a linha neutra se localiza no centro do retângulo, a distância c é igual a:

c = h 2

Substituindo no módulo resistente:

W = b h 3 12 h 2

W = b h 2 6

Show de bola!

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Como o problema nos forneceu uma equação para o carregamento vamos utilizar esssa equação para achar o momento fletor.

Mas como a gente faz isso? Basta integrar duas vezes da primeira a gente encontra a força cortante e da segundo o momento fletor:

V x = - ∫ w x   d x

Esse sinal negativo é da fórmula hein! Não pode esquecer!

V x = - ∫ w 0 s e n π x L d x

Resolvendo a integral ficamos com:

V x = w 0 cos ⁡ π x L × L π

Agora é só integrar novamente e vamos achar o momento fletor:

M x = ∫ V x   d x

Repare que agora não existe o sinal negativo!

M x = ∫ w 0 cos ⁡ π x L × L π   d x

M x = w 0 L π × s e n π x L × L π

M x = w 0 L 2 π 2 s e n π x L

Passo 4

Estamos quase no fim! UHULLLLL

Agora chegamos no ponto mais importante desta questão que é aplicar o momento fletor M em conjunto com o nosso módulo resistente W e comparar com a tensão admissível σ a d m da seguinte forma:

σ a d m = M W

Lembrando que:

W = b h 2 6

e

M = w 0 L 2 π 2 s e n π x L

Vamos substituir os valores que calculamos:

σ a d m = w 0 L 2 π 2 s e n π x L b h 2 6

Simplificando:

σ a d m = 6 w 0 L 2 π 2 b h 2 s e n π x L

Essa valor que achamos é para qualquer ponto x da nossa viga, logo, deve valer também para x = L 2 que ficará da seguinte forma:

W = b h 0 2 6

M x = L 2 = w 0 L 2 π 2 s e n π L / 2 L

M = w 0 L 2 π 2 s e n π 2 L

Substituindo em..

σ a d m = M W

Vamos obter:

σ a d m = w 0 L 2 π 2 s e n π 2 L b h 0 2 6

Simplificando:

σ a d m = 6 w 0 L 2 b π 2 h 0 2 s e n π 2 L

Passo 5

Viram que temos duas equações com σ a d m ? Então agora é só igualar as duas:

σ a d m = 6 w 0 L 2 π 2 b h 2 s e n π x L

E

σ a d m = 6 w 0 L 2 b π 2 h 0 2 s e n π 2 L

Igualando:

6 w 0 L 2 π 2 b h 2 s e n π x L = 6 w 0 L 2 b π 2 h 0 2 s e n π 2 L

Simplificando:

1 h 2 s e n π x L = 1 h 0 2 s e n π 2 L

Agora é só isolar o h :

h 2 = h 0 2 s e n π x L s e n π 2 L

h = h 0 s e n π x L s e n π 2 L

Resposta

h = h 0 s e n π x L s e n π 2 L

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