Enunciado

Para a viga uniforme em balanço e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão na extremidade livre.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza! No nosso caso, como temos somente a força P localizada na extremidade livre da viga, ela irá causar um momento de grandeza:

M = P x

Conforme vai se afastando do ponto A e chegando em B, até o momento máximo M = P L . Então o nosso diagrama M / E I será uma linha inclinada, aumentando gradativamente de A até B, da seguinte forma:

Então, para a letra (a), temos que a inclinação na extremidade livre, será a inclinação entre os pontos A e B, que nada mais é do que a área abaixo da curva M / E I , ou seja:

θ B - θ A = A A B

Como temos um engaste no ponto B, não teremos inclinação nesse ponto. E, através do diagrama, é fácil ver a área abaixo da curva, então nossa equação acima se torna:

0 - θ A = 1 2 b h = 1 2 L - P L E I → θ A = P L 2 2 E I

Beleeeza! Bora pra (b) agora.

Passo 3

Agora, para a letra (b), sabemos que a deflexão na extremidade livre será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / B = A A B x -

Em que A A B é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, como temos uma área embaixo da curva com formato triangular, nossa deflexão em A será:

y A = t A B = 1 2 b h 2 L 3 = 1 2 L P L E I 2 L 3

y A = P L 3 3 E I

Shoow! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = P L 2 2 E I

b : y A = P L 3 3 E I

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