Enunciado

Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza, para esse DCL, vamos precisar desenhar as seções para as partes da viga para determinar as equações para o momento. Mas antes podemos determinar as reações nos apoios já, uma vez que o carregamento é simétrico, então as forças nos apoios devem ser iguais, então teremos:

A y = E y = w a + w a 2 → A y = E y = w a

Então, para o DCL, começando com uma seção de comprimento x a partir de A e com comprimento x < a teremos:

Então, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F da viga, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + w x x 2 - w a x = 0 → M = w a x - w x 2 2

Agora, iremos estender a seção até a porção BC da viga, para essa parte, teremos o seguinte DCL:

Então, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G da viga, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M + w a x - a + a 2 - w a x = 0 → M = w a 2 2

Beleza! Só precisamos dessas informações para resolver o exercício, mas devido a simetria do carregamento, os momentos para a porção direita da viga serão equivalentes a esses que encontramos para a porção esquerda.

Passo 3

Agora, para facilitar a nossa vida nos cálculos, na primeira porção AB, onde temos a seguinte equação de momento:

M = w a x - w x 2 2

Vamos separar essa equação na parte linear a na parte parabólica, para poder separar no diagrama M / E I e assim poder calcular as áreas e os centroide mais facilmente. Então, para a porção linear, o valor do momento em B será:

M B - = w a x = w a a → M B = w a 2

E para a porção não linear, teremos:

M B - = - w x 2 2 = - w a 2 2 → M B = - w a 2 2

Agora, para o ponto B (vindo pela direita) e para o ponto C, o momento será dado pela outra equação que encontramos lá no passo 2, onde temos:

M B + = M C = w a 2 2

Então, com essas informações, podemos desenhar o diagrama M / E I para o sistema, que será dado por:

Passo 4

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, e vamos precisar consultar a Fig. 9.31 vista nessa seção para calcular a área e o centroide do triângulo com hipotenusa parabólica, então teremos:

A 1 = b h 2 = a w a 2 E I 2 → A 1 = w a 3 2 E I

x - 1 = b 3 = a 3 → x - 1 = a 3

A 2 = b h 3 = a - w a 2 2 E I 3 → A 2 = - w a 3 6 E I

x - 2 = b 4 = a 4 → x - 1 = a 4

A 3 = b h = L 2 - a w a 2 2 E I → A 3 = w a 2 4 E I L - 2 a

x - 3 = b 2 = L 2 - a 2 → x - 3 = L - 2 a 4

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico, teremos:

θ A - 0 = w a 3 2 E I + - w a 3 6 E I + w a 2 4 E I L - 2 a = w a 3 2 E I - w a 3 6 E I - w a 2 L 4 E I - w a 3 2 E I

θ A = - w a 2 12 E I 3 L - 2 a

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 5

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = w a 3 2 E I L 2 - a + a 3 + - w a 3 6 E I L 2 - a + a 4 + w a 2 4 E I L - 2 a L - 2 a 4

t C = w a 3 2 E I L 2 - 2 a 3 - w a 3 6 E I L 2 - 3 a 4 - w a 2 L 2 L 2 - 4 a 2 16 E I

t C = w a 3 L 4 E I - w a 4 6 E I - w a 3 L 12 E I + w a 4 24 E I - w a 2 L 2 16 E I + w a 4 4 E I

t C = w a 3 L 6 E I + w a 4 8 E I - w a 2 L 2 16 E I → t C = w a 2 E I a L 6 + a 2 8 - L 2 16

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = - w a 2 12 E I 3 L - 2 a

b : t C = w a 2 E I a L 6 + a 2 8 - L 2 16

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