Enunciado

Para a viga uniforme em balanço e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão na extremidade livre.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para uma seção da viga de comprimento x a partir do ponto A, onde teremos:

Agora nós vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para encontrar uma expressão para o momento resultante na viga, então teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

1 2 w 0 x L ( x ) x 3 - M = 0 → M = w x 3 6 L

Então, com essa equação para o momento, sabemos que nosso diagrama M / E I será parabólico de 3° grau, e com valor máximo em x = L de M = - w 0 L 2 / 6 . Então, nosso diagrama será:

Então, para a letra (a), temos que a inclinação na extremidade livre, será a inclinação entre os pontos A e B, que nada mais é do que a área abaixo da curva M / E I , ou seja:

θ B - θ A = A A B

Como temos um engaste no ponto B, não teremos inclinação nesse ponto. E, através da Fig. 9.31, podemos ver que para um triângulo com hipotenusa cúbica, a área e a distância até o centroide (partindo do lado mais alto), serão:

A = b h 4

c = b 5

Então, a nossa equação para a inclinação se torna:

0 - θ A = b h 4 = 1 4 L - w 0 L 2 6 → θ A = w 0 L 3 24

Beleeeza! Bora pra (b) agora.

Passo 3

Agora, para a letra (b), sabemos que a deflexão na extremidade livre será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / B = A A B x -

Em que A A B é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as propriedades para a curva que pegamos lá no passo 2, nossa deflexão em A será:

y A = t A / B x - = b h 4 L - b 5 = 1 4 L - w 0 L 2 6 L - L 5

y A = - w 0 L 4 30 E I

Shoow! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : θ A = w 0 L 3 24

b : y A = - w 0 L 4 30 E I

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