Enunciado

A viga uniforme é levada por cabos de guindaste ligados em A e B. Determine a distância a das extremidades da viga ate os pontos onde os cabos devem ser ligados se o máximo valor absoluto do momento fletor é o menor possível (Dica: trace o diagrama de momento fletor em termos de a ,   L   e o peso w   por unidade de comprimento, e depois iguale os valores absolutos dos maiores momentos fletores positivo e negativo obtidos.)

Figura P7.58

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiramente é importante perceber a simetria da aplicação das forças atuando na viga em relação a um eixo vertical que passa pelo centro dela. Isso facilita a análise e elaboração dos gráficos de força cortante e momento fletor, pois pode levar a gráficos com certa simetria também em relação a esse mesmo eixo.

Passo 2

Monte o diagrama de corpo livre da viga:

Passo 3

No diagrama de corpo livre, T A   e T B representam a tração nos cabos A e B, respectivamente, w representa o peso por unidade de comprimento e L representa o comprimento da viga. E também devido a simetria, T A = T B . Podemos encontrar a força de tração nos cabos usando a equação de equilíbrio na direção y.

+ ↑ ∑ F y = 0

T A + T B - w L = 0

Substituindo T A por T B :

2 T A - w L = 0

T A = w L 2

T B = w L 2

Passo 4

Por hora, de acordo com o enunciado, não será necessário a elaboração do gráfico de força cortante. Assim, vamos calcular apenas o gráfico de momento fletor. Para isso, considere a seção entre CA a uma distancia x de C.

Encontramos o momento fletor na seção calculando:

+ ↺ ∑ M x = 0

M + w x x 2 = 0 ......................................(Eq. 1)

M = - w x 2 2

Calcule o momento fletor no ponto C, substituindo x por 0 na Eq. 1.

M C = - w x 2 2

M C = - w ( 0 ) 2 2

M C = 0

Calcule o momento fletor no ponto A, substituindo x por a na Eq. 1.

M C = - w x 2 2

M C = - w ( a ) 2 2

M C = - w a 2 2

Passo 5

Agora vamos considerar a seção AB a uma distancia x do ponto C.

Calcule o momento fletor na seção:

+ ↺ ∑ M x = 0

M + w x x 2 - T A ( x - a ) = 0

M + w x x 2 - w L 2 ( x - a ) = 0

M = w L 2 x - a - w x 2 2                       .................................(Eq. 2)

Passo 6

Como citado anteriormente, devido a simetria da viga, agora podemos construir o diagrama de momento fletor da viga, pois obtemos as equações das principais seções (Eq.1 e Eq. 2).

Calculando o momento fletor no ponto x = L 2 :

M = w L 2 x - a - w x 2 2

M = w L 2 L 2 - a - w ( L 2 ) 2 2

M = w L 2 4 - w L a 2 - w L 2 8

M = w L 2 8 - w L a 2

Passo 7

Monte o diagrama de momento fletor.

Passo 8

Seguindo a recomendação do enunciado da questão, temos que:

| M | max = | M | A

w a 2 2 = w L 2 8 - w L a 2

4 a 2 = L 2 - 4 L a

4 a 2 + 4 L a - L 2 = 0

Resolva a equação do segundo grau.

a = - 4 L ± 4 L 2 - 4 4 - L 2 2 ( 4 )

a = - 4 L ± 16 L 2 + 16 L 2 8

a = - 4 L ± L 32 8

a = - 4 L ± 5,6568 L 4

a = - 4 L + 5,6568 L 4

a = 0,207 L

Resposta

A distancia da extremidade da viga ate onde os cabos devem ser ancorados é:

a = 0,207 L

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