Solução de Pórticos Simples – até 2 barras por nó

Teoria Completa

Agora que já sabemos como determinar se meu pórtico é Isostático, hipostático ou ainda hiperestático, vamos ver o que o professor pode tramar maldosamente pedir para nós em um pórtico.

O professor, em pórticos, pode pedir tudo que ele poderia pedir em treliças, ou seja, o professor pode pedir

  • Reações de apoio
  • Balanceamento de equações
  • Valores nas extremidades das barras
  • Valores nos encontros de barras
  • Verificação das rótulas (quando existirem)
  • Diagrama de cortante, fletor, normal.

Agora que já sabemos o que os professores podem nos pedir nas nossas provas, vamos fazer um exercício passo a passo, pra ficar tranquilo o entendimento.

Situação

Imagine chegar na prova e se deparar com um pórtico desses, e a pergunta é bem simples, qual o diagrama de momentos fletores desse pórtico?

Vamos pegar todos os macetes no nosso passo a passo.

Primeiro passo: balanceamento de incógnitas

Como vimos na aula de conceito, o balanceamento de incógnitas é muito importante para sabermos como proceder, então para isso vamos ver se o nosso pórtico atende as nossas regras.

Primeiro temos os dois apoios, que nos darão 4 incógnitas

Como não tem tirante, o total de incógnita será 4 mesmo.

Agora o número de equações: pra isso já sabemos que temos as nossas 3 equações de equilíbrio

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ M = 0

E sabemos que o número de equações ligada as rótulas estão ligas ao numero de barras que chegam nessa rótula, nos nosso caso, como chegam duas barras nas rótulas, teremos mais 1 equação

Logo, no balanceamento nós temos 4 equações e 4 incógnitas, e como temos pelo menos 1 vetor em cada direção, podemos dizer que o nosso problema é isostático.

Segundo passo: Reações de apoio

Agora que sabemos que o nosso problema é isostático, vamos achar as reações de apoio, para isso, usaremos a nossas 4 equações.

  • ∑ M a = 0
  • Olhando o nosso pórtico teremos o seguinte: Substituindo os apoios

    Precisamos fazer o somatório de momentos em A igual a zero (considerar todas as cargas concentras aplicadas no meio das suas barras), com isso teremos

    V b   .   5 - 10   .   8 - 10   .   2,5 - 20   .   2 -   15   .   4   .   2 = 0  

    V b = 53 K N

  • ∑ F y = 0
  • V b + V a - 10 - 10 = 0

    V a = 20 - 53 = - 33 K N

    Como já vimos em treliça, quando da negativo eu costumo inverter o sinal do vetor, e considerar ele, positivo, pra até facilitar os cálculos.

  • ∑ M e s q u e r d a r ó t u l a = 0
  • Essa é a equação que conseguimos pela rótula, como já sabemos, o somatório de momentos na rótula tem que ser igual a zero, tanto se fizermos o somatório pela esquerda ou pela direita. Se fizermos o somatório pela esquerda, só consideramos as cargas da esquerda. Se fizermos pela direita, só consideramos as cargas da direita, com isso teremos que

    Perceba que ignoramos completamente tudo que tem do lado direito da barra, e vamos fazer o somatório de momentos, na rótula, apenas pelo lado esquerdo dela, com isso teremos

    - H a   .   4 + 20   .   2 = 0

    Perceba que V a não entra na conta pois não possui braço de alavanca com relação a rótula.

    H a = 10   K N

  • ∑ F x = 0
  • H b + H a - 20 - 15   .   4 = 0

    H b = - 10 + 20 + 60 = 70 K N

    Como já determinamos o valo de todas as incógnitas, podemos ver como os vetores agem no nosso pórtico

    Agora que já temos as reações de apoio, vem a parte mais complicada: o desenho do diagrama. Pra isso teremos que tomar muito cuidado, por isso tem o seguinte macete pra resolver.

  • Numerar cada nó
  • Calcular os esforços de cada lado do nó quando somente existirem 2 barras nesse nó ( como na nossa situação só tem que descobrir o valor do momento, só iremos nos preocupar com esse esforço, mas se pedir todos os diagramas, será o mesmo processo feito para o momento fletor, só que para outros esforços.)
  • Se no nó chegarem 3 barras ou mais, fazer o cálculo para cada uma das barras de cada vez
  • Verificar as rótulas
  • Desenhar os diagramas

Terceiro passo: Valores na extremidade de cada nó

Vamos primeiro numerar os nós, e calcular todos os esforços que ocorrem nos nós que possuem apenas duas barras

Veja que os dois primeiros nós representamos a extremidade da barra (nó 1) e um nó com duas barras (nó 2).

Como o nosso interesse é somente momentos fletores, sabemos que no nó 1 teremos braço de alavanca igual a zero, e nesse caso, o nosso momento será zero, o que eu gosto de fazer é ir marando momentos com o numero do nó que eu já calculei, e quando eu for pro próximo nó eu elimino tudo que tiver depois dele, e levo até lá tudo que eu tirei, como assim ?

Vamos ver no nosso desenho:

Primeiro eu calculei que o momento em 1 é zero

Agora eu tenho que ir pro nó 2 ( é importante marcar os nós em sequência pro método funcionar direitinho), para eu ir pro nó 2, eu arranco tudo que tem antes dele, e qualquer carga que for retirada eu levo até ele

Perceba que como não me importa esforços normais e cisalhante, eu não precisaria levar a carga de 10, apenas o momento, que é o que importa, mas eu levei a carga de 10 para vc ver como vai proceder para outros esforços, sendo nesse caso a carga de 10 um cisalhante para a barra 1-2 e um normal para a barra 2-3, mas como esse não é o enfoque, vamos deixar apenas o que nos importa.

Um cuidado que vale lembrar é que sempre que houver mudança de barrar você tem que ver se todo o esforço vai ser transferido para outra barra. Como nesse caso não tem nenhum memento aplicado no nó 2, sabemos que será tudo transferido. Porém se a situação fosse essa

Quando levássemos o momento para o nó 2 teríamos o seguinte

Antes do nó 2 mas muito próximo dele

Veja que temos nesse caso um momento a direita do nó 2, que é exatamente o momento que calculamos na situação anterior e está na barra 1-2. Já do lado esquerdo teríamos

Agora tiramos o momento concentrado no nó 2 e colocamos ele como contribuição do lado esquerdo do nó, ou seja, na barra 2-3. Ou seja, no mesmo nó temos um momento a direita e outro a esquerda, mas isso só ocorre no caso de concentração de esforços em um ponto, nesse caso a concentração seria de um momento no nó.

Até aqui aprendemos a resolver metade do pórtico, mas ainda precisamos aprender a resolver nós com 3 barras, porém isso destinamos a parte 2 dessa aula, vamos lá para finalizar esse módulo de aula, bora lá???

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule as reações de apoio do pórtico simples mostrado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para resolvermos qualquer exercício de pórticos simples, precisamos seguir uma sequência de passos que irá nos ajudar na solução desse tipo de problema, e a sequência é a seguinte.

  • A primeira coisa que devemos fazer é o cálculo das reações de apoio, pois assim conseguiremos calcular qualquer nó sem que haja nenhum problema.
  • a segunda coisa é seguir a seguinte sequência de nós a serem resolvidos:

Nós com 2 barras

Nós com 3 barras

Nós com 4 barras

...

  • A terceira coisa que devemos fazer é calcular o valor dos momentos fletores, cortantes e normais em todos as barras que chegarem ou saírem de algum nó
  • O quarto e último passo consiste em desenhar os diagramas do pórtico quando esse for pedido.
  • Agora que já sabemos qual sequência de passos devemos seguir, vamos aplicar esse conhecimento ao nosso problema.

    Passo 2

    Como vimos, a primeira coisa que devemos fazer é determinar as reações de apoio, para isso, primeiro iremos trocar os apoios por vetores reações de apoio, como indica a figura abaixo.

    Agora que já temos os vetores e medidas, vamos fazer o equilíbrio de equações

  • ∑ F x = 0
  • H a - 180 + 20   .     4 = 0

    H a = 100   k N

  • ∑ M a = 0
  • 6 V b - 80   .   3 + 180   .     6 + 50   .     1 + 12 0 - 30   .     4   .   6 - 20   .     4   .   8 = 0

    6 V b = 350     k N

    V b = 58,3   k N

  • ∑ F y = 0

V a + V b - 80 - 50 - 30   .   4 = 0

V a + 58 , 3 - 80 - 50 - 30   .   4 = 0

V a = 191 , 7   k N

E assim resolvemos o nosso problema, vamos para o próximo.

Resposta

H a = 100   k N

V b = 58 , 3   k N

V a = 1 91 , 7   k N

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule as reações de apoio do pórtico simples mostrado.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para resolvermos qualquer exercício de pórticos simples, precisamos seguir uma sequência de passos que irá nos ajudar na solução desse tipo de problema, e a sequência é a seguinte.

  • A primeira coisa que devemos fazer é o cálculo das reações de apoio, pois assim conseguiremos calcular qualquer nó sem que haja nenhum problema.
  • a segunda coisa é seguir a seguinte sequência de nós a serem resolvidos:

Nós com 2 barras

Nós com 3 barras

Nós com 4 barras

...

  • A terceira coisa que devemos fazer é calcular o valor dos momentos fletores, cortantes e normais em todos as barras que chegarem ou saírem de algum nó
  • O quarto e último passo consiste em desenhar os diagramas do pórtico quando esse for pedido.
  • Agora que já sabemos qual sequência de passos devemos seguir, vamos aplicar esse conhecimento ao nosso problema.

    Passo 2

    Como vimos, a primeira coisa que devemos fazer é determinar as reações de apoio, para isso, primeiro iremos trocar os apoios por vetores reações de apoio, como indica a figura abaixo.

    Agora que já temos os vetores e medidas, vamos fazer o equilíbrio de equações

  • ∑ F x = 0
  • H a + 150 - 180 = 0

    H a = 3 0   k N

  • ∑ M a = 0
  • 4 V b - 100   .     5,5 + 180   .     6 + 12 - 150   .     1 - 5   .     2,5   .     4,25 = 0

    4 V b = - 338,9     k N

    V b = - 84,7   k N

    Invertendo o vetor teremos que

  • ∑ F y = 0

V a - 5   .     2,5 - 100 - 84,7 = 0

V a = 1 97,2   k N

E assim resolvemos o nosso problema, vamos para o próximo.

Resposta

H a = 30   k N

V b = 84,7   k N

V a = 197,2   k N