Solução de Vigas Simples

Teoria Completa

Introdução

Nessa aula, queremos mostrar uma nova forma de solução de vigas, para encontrarmos as equações a partir de integrais. No caso vamos ver uma situação e a partir dessa situação vamos aprender a calcular tanto as fórmulas quanto comparar os métodos de solução.

Vale destacar que se o seu professor não obriga a resolver dessa maneira e você se sente mais confortável resolvendo por equilíbrio, essa aula não vai te ajudar muito. Mas se o seu professor obriga você a fazer por esse método, ou você quer aprender outras formas de resolver, vamos partir para nossa situação para entendermos essa nova forma de descobrir os diagramas, bora lá?

Equação da carga aplicada

Para isso, temos que analisar o seguinte, a nossa carga aplicada possui uma equação, que sempre consideraremos com o sinal contrário, ou seja

q x = - q

Por exemplo, imagine que tenhamos a seguinte carga distribuída

Qual a equação dessa carga distribuída?

Basta usarmos a equação da reta

y = a x + b

Em que sabemos que quando

x = 0

y = 15 K N m

E que quando

x = 3 m

y = 25 K N m

Substituindo teremos o seguinte sistema

15 = a   .   0 + b 25 = a   .     3 + b

Resolvendo o sistema encontramos que

b = 15

a = 10 3

Logo nossa equação será

y = 10 3 x + 15

Mas lembre-se que devemos definir a nossa carga com sinal contrário, logo

q x = - q = - 10 3 x - 15

Para outros carregamentos temos que

Equação do Cortante e do Momento Fletor

Definido a carga podemos definir a fórmula do cortante e do momento fletor, que são dadas por

  • Cortante
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )  

  • Momento Fletor
  • M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 ) = ∬ q x + ∫ C 1 + C 2  

    Vale ressaltar que as constantes C 1 e C 2 serão determinadas pelas condições de contorno, que geralmente dependem dos apoios ou do ponto da barra que estivermos calculando.

    Para entender essas fórmulas vamos fazer um exemplo bem completinho pra pegarmos bem esses macetes.

    Situação

    Imagine que seu professor coloque na prova a seguinte questão, pedindo as equações de momentos fletores e cortantes

    Como começar a fazer isso?

    Separação dos intervalos

    Os pontos que marcam as separações dos intervalos são os pontos em que a mudança de carga brusca, por exemplo, para o nosso exercício, os pontos com mudança de carga são

    Com isso já sabemos que precisamos calcular as equações para 3 intervalos, AB, BC e CD. Como cada intervalo tem 2 equações (cortante e momento fletor), no fim deveremos ter 6 equações. Vamos para o próximo passo.

    Reações de apoio

    Sabemos que o nosso diagrama de corpo livre será

    Sabemos que pelas equações de equilíbrio teremos

  • ∑ F x = 0
  • H a = 0

  • ∑ M a = 0
  • 5 V d - 3,5   .   50 - 20   .   2   .   1 = 0

    V d = 43   K N

  • ∑ F y = 0
  • V d + V a - 20   .   2 - 50 = 0

    V a = 47 K N

    Se já temos os intervalos e já temos as reações de apoio, agora é só calcular as equações.

    Equações trecho AB

    Como a gente viu, temos que determinar as equações das cargas, sabemos que no trecho AB temos apenas carga distribuída, e essa carga é constante, logo teremos

    q x = - q = - 20

    Para equação do cortante termos que

    V x = ∫ q x + C o n s t a n t e = ∫ - 20 + C 1 = - 20 x + C 1  

    Perceba que o trecho AB é definido pelo intervalo [0 ; 2]. Se conhecermos o valor do cortante em qualquer ponto desse intervalo, nós descobrimos facilmente o valor do C 1 .

    Nesse caso, sabemos que o ponto 0 é onde está o apoio. E nesse caso, o cortante no ponto zero é a própria reação de apoio, tomando cuidado com o sinal, que é dado por

    que significa que o cortante é positivo pela esquerda se o vetor for pra cima, ou é positivo pela direita se o vetor for pra baixo. Como nesse caso a reação de apoio está do lado esquerdo e pra cima, o nosso cortante é positivo, com valor igual a

    V a = 47 K N

    Substituindo na nossa equação teremos

    V x = - 20 x + C 1

    47 = - 20   .   0 + C 1

    C 1 = 47

    Logo a equação do cortante é

    V A B x = - 20 x + 47

    Pra equação do momento fletor temos

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e = ∫ ( - 20 x + 47 ) + C 2 = - 20 x 2 2 + 47 x + C 2

    Nesse caso, vamos tomar novamente o momento no ponto x=0, que nesse caso, é zero mesmo, já que temos um apoio do segundo gênero, dessa forma teremos

    M f l x = - 20 x 2 2 + 47 x + C 2

    0 = - 20 0 2 2 + 47   .     0 + C 2

    C 2 = 0

    E a equação do momento fletor será

    M f l A B ( x ) = - 10 x 2 + 47 x

    Equações trecho BC

    O trecho BC é definido no intervalo de [2 ; 3,5]. Perceba que todos os valores do ponto a 2m podem ser definidos pela equação do trecho anterior. Vamos logo definir esses valores então

    V A B 2 = - 20   .   2 + 47 = 7   K N

    M f l A B 2 = - 10   .     2 2 + 47   .   2 = 54   K N . m

    Agora precisamos ver o carregamento, podemos dizer que se fossemos considerar um carregamento seria apenas o carregamento concentrado de 50, então teríamos que

    q x = 0

    Logo a equação do cortante será

    V x = ∫ q x + C o n s t a n t e = ∫ 0 + C 1 = C 1

    Qual vai ser o valor de C 1 ?

    Muito simples, só precisamos de um ponto do trecho BC, e temos exatamente o ponto B calculado ali em cima, então é só substituir

    V 2 = C 1

    C 1 = 7

    Logo o cortante será

    V B C x = 7

    E o momento fletor?

    Só jogar na outra fórmula

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e = ∫ ( 7 ) + C 2 = 7 x + C 2

    E qual será o valor do momento? É só usar o valor que calculamos para o ponto B ali em cima

    M f l 2 = 7   .   2 + C 2 = 54

    C 2 = 40

    Logo o momento fletor será

    M f l B C x = 7 x + 40

    Equações trecho CD

    A equação pro trecho CD, seguirá o mesmo principio que seguimos no trecho BC, ou seja, vamos calcular os valores de cortante e fletor do ponto C, que está a 3,5m do primeiro apoio

    V B C 3,5 = 7

    M f l B C 3,5 = 7   .   3,5 + 40 = 64,5

    Agora precisamos ver o carregamento, podemos dizer que se fossemos considerar um carregamento seria apenas o carregamento concentrado de 50, como fizemos no caso anterior , então teríamos que

    q x = 0

    Logo a equação do cortante será

    V x = ∫ q x + C o n s t a n t e = ∫ 0 + C 1 = C 1

    Qual vai ser o valor de C 1 ?

    Muito simples, só precisamos de um ponto do trecho BC, e temos exatamente o ponto C calculado ali em cima, então é só substituir, tomando cuidado que no ponto C que estamos olhando tem uma carga concentrada de -50 KN. Porque negativo? Porque quando olhamos essa carga pela esquerda ela é para baixo, ao contrario do nosso sinal usual, por isso, consideramos ela negativa, dessa forma teremos

    V 3,5 = C 1

    C 1 = 7 - 50 = - 43

    Logo o cortante será

    V C D x = - 43

    E o momento fletor?

    Só jogar na outra fórmula

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e = ∫ ( - 43 ) + C 2 = - 43 x + C 2

    E qual será o valor do momento? É só usar o valor que calculamos para o ponto C ali em cima, e nesse caso a carga de 50 não precisa ser considerada pois ela já está sendo considerada no cortante que vamos substituir

    M f l 3,5 = - 43   .   3,5 + C 2 = 64,5

    C 2 = 215

    Logo o momento fletor será

    M f l C D x = - 43 x + 215

    Ou seja, no final as equações serão

    Com essas equações conseguimos facilmente determinar o diagrama de cortante e momentos fletores, porém, como já foi dito no início, se o método usado fosse o equilíbrio da barra, chegaríamos nas mesmas equações, tanto o método de integrais quanto o método de equilíbrio dariam a mesma resposta, tanto é que podemos confirmar isso para o trecho CD apenas para mostrar que de fato ambos os métodos dão os mesmos valores.

    Equações trecho CD (pelo método de equilíbrio)

    Cortando a barra no trecho CD teríamos

    Equilibrando o cortante teremos

    - V x + 47 - 20   .   2 - 50 = 0

    V x = - 43   K N

    Equilibrando o Momento fletor teremos

    M f l + 50   .   x - 3,5 + 20   .   2   .   x - 1 - 47 x = 0

    M f l = - 50 x + 175 - 40 x + 40 + 47 x

    M f l = - 43 x + 215

    Ou seja, de fato tanto por um método quanto por outro chegamos nos mesmos valores, então fica a seu critério escolher a melhor forma de resolver o problema 😊.

    Diagrama de cortante e momento fletor

    Agora que já temos as equações, basta desenhar os diagramas. Nesse caso usamos o programa ftool pra fazer os gráficos bem bonitos pra vocês, e vale ressaltar que nesse caso consideramos o momento fletor positivo pra baixo e negativo pra cima, e o cortante positivo pra cima e negativo pra baixo. Pra fica fácil pra lembrar do fletor, sempre desenhamos os gráficos na direção das fibras tracionadas, quando as fibras tracionadas estão em baixo, é positivo, quando as fibras tracionadas estão em cima, negativo, com isso o nosso diagrama fica

  • Cortante
  • Momento fletor

Bem bonito né? Perceba que onde está parabólico é exatamente no trecho que a equação é do segundo grau, e onde está retilíneo é onde a equação é do primeiro grau, assim como os trechos constantes.

Agora é treinar mais e pegar todos os macetes, bora fazer exercício?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule as reações de apoio da viga dada abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequência de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o último passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.

Dito tudo isso, vamos pôr a mão na massa!!!

Passo 2

Como vimos, o objetivo da nossa questão são apenas as reações de apoio, por isso, iremos até o passo 2 que vimos acima. Um macete legal é trocarmos todas as cargas distribuídas que tivermos no nosso enunciado por cargas concentradas, no nosso caso temos apenas uma carga do tipo retangular, e nesse caso teremos que o nosso vetor concentrado que representa o distribuído será

q   .   L = c a r g a   c o n c e n r a d a   d a   d i t r i b u i ç ã o   r e t a n g u l a r  

Assim

40   .   2 = 80   K N

Dessa forma o nosso carregamento ficará da seguinte maneira na estrutura

Passo 3

Agora que já determinamos os trechos e a equação, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, usando as equações de equilíbrio e definindo o diagrama de corpo livre, teremos

Perceba que trocamos os apoios por reações de apoio

  • ∑ M b = 0
  • + 20 + 80   .   1 - 150   .   1 - 200   .   2 - 150   .   3 + 4 V f - 100 - 120   .   6 = 0

    4 V f = 1720

    V f = 430   K N

  • ∑ F V = 0

V b + V f - 80 - 150 - 200 - 150 - 120 = 0

V b + 430 - 80 - 150 - 200 - 150 - 120 = 0

V b = 270   K N

E assim calculamos as nossas reações de apoio.

Resposta

V f = 430   K N

V b = 270   K N

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Calcule as reações de apoio da viga dada abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequência de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o último passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.

Dito tudo isso, vamos pôr a mão na massa!!!

Passo 2

Como vimos, o objetivo da nossa questão são apenas as reações de apoio, por isso, iremos até o passo 2 que vimos acima. Um macete legal é trocarmos todas as cargas distribuídas que tivermos no nosso enunciado por cargas concentradas, no nosso caso temos apenas uma carga do tipo retangular, e nesse caso teremos que o nosso vetor concentrado que representa o distribuído será

q 1   .   L 1 = c a r g a   c o n c e n r a d a   d a   d i t r i b u i ç ã o   r e t a n g u l a r  

q 2   .   L 2 = c a r g a   c o n c e n r a d a   d a   d i t r i b u i ç ã o   r e t a n g u l a r  

h B + b 2 = c a r g a   c o n c e n r a d a   d a   d i t r i b u i ç ã o   t r a p e z o i d a l  

Assim

1                                             20   .   3 = 60   K N

      2                                             50   .   2 = 100   K N

O trapezoidal vamos dividir em duas regiões

A parte retangular inferior será

3                                             20   .   2 = 40   K N

A parte triangular será

      4                                             30   .   2 2 = 30   K N

E no triangular a distancia do lado zero do triangulo será 2/3 do vão

2 3   .   2 = 4 3

Dessa forma o nosso carregamento ficará da seguinte maneira na estrutura

Passo 3

Agora que já determinamos os trechos e a equação, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, usando as equações de equilíbrio e definindo o diagrama de corpo livre, teremos

Perceba que trocamos os apoios por reações de apoio

  • ∑ M a = 0
  • + 5   .   2 + 60   .   0,5 - 30 - 40   .   2 - 30   .     1 + 4 3 - 100   .     4 - 60 - 140   .   5 + 5 V b = 0

    5 V b = 1300

    V b = 260   K N

  • ∑ F V = 0

V a + V b - 5 - 60 - 40 - 30 - 100 - 140 = 0

V a + 260 - 5 - 60 - 40 - 30 - 100 - 140 = 0

V a = 115   K N

Resposta

V a = 115   K N

V b = 260   K N

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Calcule as reações de apoio da viga dada abaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Já vimos que para solucionar a nossa viga precisamos seguir uma sequência de passos que vai nos ajudar a achar a equações de cada trecho, para isso devemos fazer o seguinte

  • Primeiro definimos quais serão os trechos com equações, que definimos como sendo o ponto em que há mudança brusca de carregamento
  • Depois usamos as equações de equilíbrio para determinar as reações de apoio.
  • Em seguida definimos uma equação para nossa carga distribuída ou concentrada
  • Por fim usamos as seguintes fórmulas, com suas condições de contorno para encontrarmos as equações de cortante e momento fletor
  • V ( x ) = ∫ q x + C o n s t a n t e ( 1 )

    M f l = ∫ V ( x ) + C o n s t a n t e ( 2 )

  • Não é o caso do nosso problema, mas ainda pode ter o último passo que é o desenho dos diagramas, porém, iremos apenas até o passo anterior com a definição das equações.

Dito tudo isso, vamos pôr a mão na massa!!!

Passo 2

Como vimos, o objetivo da nossa questão são apenas as reações de apoio, por isso, iremos até o passo 2 que vimos acima. Um macete legal é trocarmos todas as cargas distribuídas que tivermos no nosso enunciado por cargas concentradas, no nosso caso temos apenas uma carga do tipo retangular, e nesse caso teremos que o nosso vetor concentrado que representa o distribuído será

q 1   .   L 1 2 = c a r g a   c o n c e n r a d a   d a   d i t r i b u i ç ã o   t r i a n g u l a r  

q 2   .   L 2 2 = c a r g a   c o n c e n r a d a   d a   d i t r i b u i ç ã o   t r i a n g u l a r

Assim

      1                                             50   . 2 2 = 50   K N

      2                                             50   . 2 2 = 50   K N

E no triangular a distância do maior lado do triangulo será 1/3 do vão

1 3   .   2 = 2 3

Dessa forma o nosso carregamento ficará da seguinte maneira na estrutura

Passo 3

Agora que já determinamos os trechos e a equação, vamos determinar as reações de apoio, já que na nossa listinha esse é o passo 2, usando as equações de equilíbrio e definindo o diagrama de corpo livre, teremos

Perceba que trocamos os apoios por reações de apoio

  • ∑ M a = 0