Exercícios Resolvidos de Operações de Vetores e Matrizes

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Enunciado

Dado o sistema de equações:

x + 2 y + z = 3

x + y - z = 2

x + y + a 2 - 5 * z = a

Encontre os valores de a pertencente aos reais, pelo o qual o sistema de equações possui uma solução única e real.

Passo 1

A questão é uma aplicação de resolução de sistema de equações lineares, tem diversas formas de fazer ela.

Porém, dessa vez iremos resolver pelo método da matriz inversa. Pois, como geralmente é mostrado no ensino médio seja A , B , X um sistema de equações na forma matricial.

Se pudermos escrever o sistema da seguinte forma:

A * X = B

Nós temos que a solução é X = A - 1 * B .

Então, para resolver essa questão precisamos explicitar todas as soluções em função de a

E assim julgar os valores de a pelo o qual nosso sistema satisfaz as condições desejadas da questão.

Passo 2

Analisando o sistema de equação podemos notar que podemos decompor em três matrizes, que são as matrizes:

E podemos perceber que se realizarmos a seguinte operação matricial:

M * X = B

Iremos retornar para o sistema de equações originais.

Logo, para resolver o sistema de equações precisamos implementar primeiramente essas três matrizes no Matlab.

Então vamos lá.

Passo 3

Primeiramente precisamos notar que quando formos inserir essa matriz no Matlab existe uma variável simbólica dentro, isso mesmo é a variável a .

Então vamos primeiramente defini-la como uma variável simbólica.

s y m s   a

Agora vamos inserir as matrizes, se caso você inserir cada matriz certinho deve chegar em algo mais ou menos assim:

Uma vez que implementamos precisamos resolver o sistema de equação linear, para isso vamos usar a função inversa.

Basta escrever na sua Workspace a seguinte equação:

X = i n v M * B

Ou seja, a solução é a inversa da matriz M multiplicado pela matriz B e chegaremos no seguinte conjunto de soluções:

Passo 4

Para finalizar vamos analisar as soluções, como podemos ver todas as soluções têm denominadores do tipo a 2 - 4 , onde as raízes são ± 2 .

Ou seja, quando o valor de a é igual a ± 2 o denominador da 0 , e como sabemos da matemática básica qualquer divisão por zero é uma indeterminação.

Ou seja, excerto a = ± 2 qualquer outro valor de a produz uma solução única e real.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)