Exercícios Resolvidos de Princípio da Indução Finita

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Enunciado

Prove que:

2 n < n ! ,     n ≥ 4

Passo 1

OPAAA! Esse já mais quentinho que o exercício 1 , né? Hahaha Relaxa, que vamos esmiuçar bem direitinho.

Novamente, vou colocar o PIF pra clarear sua mente e entranhar no seu ser:

Lembrando que P n : 2 n < n ! ,     n ≥ 4 .

Vamos checar se isso é verdade, e comecemos pela primeira condição.

Adotando n 0 = 4 :

2 4 = 16

4 ! = 24

2 4 < 4 !

Ou seja, P ( 4 ) é verdadeira.

Passo 2

Olhemos agora para a segunda condição. Suponhamos que a relação é válida para algum k , que é a nossa hipótese indutiva P ( k ) , então queremos que seja válida também para k + 1 . Isto é, queremos encontrar:

2 k + 1 < k + 1 !

Bora tentar trabalhar na expressão que temos até agora:

2 k < k !

Multiplicando por 2 dos dois lados:

2.2 k < 2 k !

2 k + 1 < 2 k !

Opa, já temos uma parte da expressão que queremos, meu anjo!

Passo 3

Perceba o seguinte:

k + 1 ! = k + 1 k !

Concorda comigo?

“Ihhhh, você já começou a roubar... De onde você tirou esse k + 1 ! ???”

Anjo, esse termo aparece na expressão que a gente quer encontrar, então alguma hora a gente precisa trabalhar com ele, fazer algum tipo de rataria pra chegar onde queremos.

Continuando:

k + 1 > 2 ,     n ≥ 4

Concorda comigo nesse ponto também?

“Concordo, mas você tá doida!”

Não tô não, olha só como tudo vai fazer sentido agora:

k + 1 k ! > 2 k ! ,     n ≥ 4

E dá uma olhada novamente da expressão que tínhamos:

2 k + 1 < 2 k !

É justo dizer que:

2 k + 1 < 2 k ! < k + 1 k !

“Até tô vendo um pouco de sentido, mas não tô seguro se posso fazer isso!”

Passo 4

Tudo bem, vou tentar te convencer... Veja se você concorda com o seguinte:

2 < 3

Show, concorda também que:

7 > 3

Então não é errado eu dizer que:

2 < 3 < 7

E aí eu digo:

2 < 7

Foi isso que fizemos agora. Continuando para a glória:

2 k + 1 < k + 1 ! ,     n ≥ 4

Yuuuupi!!! (Isso é com Y?) Chegamos no P ( k + 1 ) e ela é verdadeira.

Portanto, P ( n ) é verdadeira para todo n ≥ 4 .

Deixe-me conversar uma coisa com você... Essas técnicas e ratarias nessas demonstrações, você pega depois de fazer alguns exercícios. Então, mesmo que você esteja achando que é o fim do mundo, acredite: não é. Continue tentando! Estou aqui pra ajudar você!

Resposta

Demonstração pelo PIF.