Cálculo de Probabilidades - Introdução
Teoria
Introdução
Cara, sabe quando você está jogando algum jogo, e quer saber as chances de vencer? Ou então, quando lança um dado e quer saber a chance de sair o número 3?
É pra isso que a probabilidade serve! A probabilidade é uma forma de calcular as chances de algo que você quer que aconteça.
Como calcular?
Vamos falar de uma definição que é MEGA importante.
Do que eu estou falando? Tô falando daquele conceito clássico que você viu no ensino médio, onde seja um evento qualquer do espaço amostral . A probabilidade de ocorrer, denotada por , é dada por:
Resultados favoráveis são os que concordam com o evento, entende?
Tipo, no caso do evento , os resultados favoráveis seriam , que são os números pares do dado.
Exemplo: O estacionamento de um prédio possui vagas, para cada apartamento. Um morador novo chega ao prédio e sem saber quais vagas são suas resolve estacionar em qualquer uma. Qual a probabilidade de ele estacionar na vaga certa ?
Passo 1) Qual é o evento que queremos? .
Dados do problema:
(que são as vagas do cara)
(total de vagas)
Passo 2) Calculamos pela fórmula
Probabilidade de complementares
Lembra aquela história de eventos complementares? Por exemplo, um evento : sair números pares num dado é complementar ao evento : sair números ímpares num dado.
Uma coisa legal à respeito disso é que:
E isso fica claro olhando nosso diagrama aqui em baixo:
Temos que , já que é todo nosso espaço amostral! Então:
Pra NUNCA se esquecer
Cara, você nunca, NUNCA, NUUUUNCA pode se esquecer do seguinte:
Porque afinal de contas, a probabilidade de um evento acontecer tá sempre entre (nenhuma chance) e .
Pode parecer óbvio, mas muita gente erra e os professores adoram dar zero em quem escreve probabilidades maiores que ou probabilidades negativas, então toma cuidado em!
Outra parada muito importante, é a seguinte propriedade:
Isso aí ocorre justamente por aquela propriedade de conjuntos muito semelhante a isso que vimos anteriormente!
Dados e Tabelas
Cara, nesse tipo de questão iremos usar COM CERTEZA aquela fórmulinha lá:
Isso vai acontecer pois estamos trabalhando com dados e/ou tabelas, ou seja, tudo quantitativo. Iremos trabalhar com a quantidade de pessoas, de grupos que realizam certas atividades.
O importante aqui é ter calma na hora de analisar nosssa tabela ou dado. Primeiro procure o evento em questão e depois busque o espaço amostral. Geralmente o espaço amostral vai ser constituído de uma soma (do seu evento e do complementar dele).
Ex.:
Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos relacionados a esse experimento aleatório.
Determine agora:
e ;
Sabemos que:
Opa, e o ?
Bom, quando um dado pode cair com o número ?? Nunca né? Então esse conjunto que representa nosso evento será um vazio!
Logo:
E:
Note que estamos realizando uma análise QUANTITATIVA. Estamos olhando quantas vezes o evento A ocorre para enfim substituirmos na nossa expressão clássica!
Vamos praticar um pouco mais!
Probabilidade de complementares
Pra NUNCA se esquecer
Dados e Tabelas
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 56-29
Um candidato a motorista treina na auto-escola e acredita que passa no exame com probabilidade 0,7. Se não passar, fará mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentará em 10% a probabilidade de passar, isto é, no segundo exame passará com 0,77 de probabilidade.
Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibilidade, em que exame será aprovado com certeza?
Passo 1
Pra essa questão, nada melhor do que montar um diagrama. Olha só:
O enunciado diz que a cada vez que ele reprova, aumentam as chances dele passar em 10%.
Ou seja, na segunda tentativa ele terá uma probabilidade de passar de: 0,70.1,1=0,77
Na terceira: 0,77.1,1 = 0,847
Na quarta: 0,847.1,1=0,9317
Na quinta 0,9317.1,1=1,02487 ou seja, na quinta tentativa a chance dele passar ultrapassa 1, ou seja, ultrapassa 100%. Isso quer dizer que com certeza ele será aprovado.
Resposta
5ª tentativa.
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria.
Retira-se uma carta de um baralho. Qual a probabilidade da carta retirada ser uma dama ou uma carta de copas?
Passo 1
Definir os eventos:
O que queremos?
Probabilidade de ser um ou outro.
Sabemos que:
Passo 2
Determinar e
Se você não se lembra bem, um baralho é composto por 52 cartas, divididas em 4 naipes (espadas, copas, paus e ouros). Cada um desses naipes possui 13 cartas, (às, 1, 2, 3..., 10, dama, valete e rei). Então temos 4 damas totais em um baralho, uma de cada naipe.
Como são 4 damas em 52 cartas,
Como cada naipe possui 13 cartas,
E:
Lembrando que a interseção é a dama de copas.
Passo 3
Substituir na fórmula inicial.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 115-15
Considere um urna contendo três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição.
a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades.
b) Mesmo problema, para extrações com reposição.
Passo 1
a) Quero saber os meus resultados possíveis, ou seja, os eventos do meu espaço amostral. E além disso quero a probabilidade de cada um deles.
Vamos lá!
Na minha urna eu tenho 3 bolas pretas (PPP) e cinco bolas vermelhas (VVVVV). Então meus eventos possíveis serão:
{(PP); (PV); (VP), (VV)}
Agora vamos calcular as probabilidades:
Sabemos que , logo em um caso SEM reposição teremos:
Evento A (PP):
Evento B (PV):
Evento C (VP):
Evento D (VV):
Note que: no caso sem reposição a quantidade total de bolas varia e a quantidade de bolas de cada cor depende da cor que foi retirada anteriormente.
Passo 2
b) Em um caso COM reposição teríamos:
Evento A (PP):
Evento B (PV):
Evento C (VP):
Evento D (VV):
Note que neste caso a quantidade total de bolas não varia e a probabilidade da segunda independe da primeira retirada.
Resposta
a) Evento A :
Evento B:
Evento C:
Evento D:
b) Evento A:
Evento B:
Evento C:
Evento D:
Exercício Resolvido #4
Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 124-41
Considere que a empresa M&B tenha 15.800 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo. Suponha que escolhamos dois empregados ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que:
a) ambos sejam do sexo masculino;
b) o primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e tenha menos de 25 anos;
c) nenhum tenha menos de 25 anos.
Passo 1
a) Probabilidade de ambos empregados serem do sexo masculino
Sabemos que a probabilidade de um evento A é dada por:
Então teremos:
Evento W: Sortear dois funcionários homens
Passo 2
b) O primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e tenha menos de 25 anos;
Evento X: Sortear um funcionário que tenha menos de 25 anos
Evento Y: Sortear um funcionário homem que tenha menos de 25 anos
Assim, a probabilidade será:
Passo 3
c) nenhum tenha menos de 25 anos.
Agora vamos querer a probabilidade de sortear dois funcionários que tenha mais de 25 anos, ou seja, nenhum tenha menos de 25 anos.
Resposta
a)
b)
c)
Exercício Resolvido #5
UFRJ-PF-2015.1.-1
Em um bairro existem mil residências que podem ser atendidas por empresas de TV a cabo. A empresa tem assinantes, a empresa tem e a empresa tem assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos residências que são assinantes de e , de e , de e e que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de:
- Ser assinante apenas da empresa ?
- Assinar pelo menos uma delas?
- Não ter TV a cabo?
Passo 1
Temos um total de residências que podem ser atendidas por três empresas de TV diferentes .
Vamos anotar os dados que o problema dá:
Esses são os totais de usuários de cada empresa... mas também temos usuários que usam serviços de mais de uma empresa. Esses valores nos dão:
Passo 2
Pra facilitar a gente a resolver todos os itens, vamos usar aquela ideia de conjuntos?
Vamos ter três conjuntos, um pra cada empresa, e já conhecemos todas as interseções.
Para preencher começamos pela interseção entre as três empresas que vale e depois pelas interseções entre duas (descontando o ) e por fim pro valor total de assinantes de cada empresa (sem esquecer de descontar todas as interseções).
Por fim, ficamos com isso aqui:
Passo 3
(a)
Olhando no nosso esquema de conjuntos, a gente vê que só residências são assinantes somente da empresa .
Então a probabilidade da escolhida ser assinante só de é:
Lembrando que é o total de residências.
Passo 4
(b)
Pra achar essa probabilidade, a gente precisa encontrar o número total de pessoas que assinam, certo? Afinal de contas, a probabilidade de pelo menos uma pessoa assinar é a probabilidade de ocorrerem assinaturas. Pra encontrar esse número, podemos somar todos os números que aparecem no nosso esquema de conjuntos ou utilizar a fórmula da união de conjuntos. Assim:
Mas veja, podemos obter essa resposta também usando:
E daí a probabilidade será:
Passo 5
(c)
Se o nosso esquema representa as residências que tem pelo menos uma TV à cabo, pra saber o total de residências sem nenhuma, é só fazer...
E daí a probabilidade vai ser:
Você poderia pensar também que:
E isso a gente tinha calculado antes:
Daí:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 125-49
Considere o quadrado com vértices (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1). Suponha que a probabilidade de uma região A (evento) seja a área dessa região.
a) Represente graficamente o evento A = conjunto dos pontos cuja distância à origem seja menor ou igual a 1.
b) Calcule P(A)
c) Calcule a probabilidade do evento , onde b é um número tal que
d) Calcule , onde B foi definido em (c).
Passo 1
a)Represente graficamente o evento A = conjunto dos pontos cuja distância à origem seja menor ou igual a 1.
Pelo enunciado podemos notar que a região que delimita o evento A é uma curva, um segmento de circunferência, cujo evento A é toda área delimitada por essa curva.
Passo 2
b) Determine P(A)
Após entendermos quem é A, a probabilidade de A ocorrer será:
Onde utilizaremos a área como referência.
A área da região A é um quarto da área de uma circunferência de raio 1 e a área total é a área de um quadrado de lado 1.
Passo 3
c) Calcule a probabilidade do evento , onde b é um número tal que
Primeiramente vamos entender quem é esse evento B com uma figura:
A área de vai ser essa área verde.
Repare que a área branca que restou embaixo à esquerda vale . Ou seja, como a área do quadrado vale , a área verde vale . Assim:
Passo 4
d) Calcule , onde B foi definido em (c).
Temos simplesmente
Que é justamente aquela área que calculamos antes, do quadrado branco que está embaixo à esquerda na figura.
Resposta
a)
b)
c)
d)
Exercício Resolvido #7
UFRJ, ProbEst, P1/2013.1, 1
Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:
- Não consiga chegar até a final;
Passo 1
Fala Aíí!! Como no enunciado nos é dado a probabilidade de vitória em cada partida, iremos utilizar essas informações para resolver a questão, beleza?!
E como faremos isso?? Iremos calcular a probabilidade dele chegar na final e calcularemos o complementar disso. O complementar será a probabilidade dele não chegar na final. Show de bola?!
Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.
Quais os resultados possíveis?
Então, o nosso espaço amostral é:
Passo 2
Agora vamos determinar a probabilidade de cada um desses resultados.
Se você reparar, no enunciado é dada a informação da probabilidade dele ganhar na primeira partida é de . Assim, a probabilidade dele perder de primeira é 1 menos a probabilidade dele ganhar a primeira partida, concorda? Portanto,
Belezinha?!
Seguindo o mesmo raciocínio, a probabilidade dele perder na segunda partida é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. dele perder a segunda:
Já ta dando pra pegar a ideia, né?! Vamos continuar com o mesmo racioncínio!!
A Probabilidade dele perder na terceira partida é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira hahahahaha
Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.
E a prob. de vencer o torneio é:
Assim já conseguimos calcular a probabilidade de cada um dos casos acontecerem.
Beleza?!
Passo 3
(a)
A questão nos pede para calcularmos a probabilidade dele não conseguir chegar a final.
Considerando:
A gente pode dizer que , concorda? São os dois casos que a pessoa pelo menos chega a final.
Então:
Passo 4
Mas o exercício pede a probabilidade do cara não chegar a final, ou seja:
Pelo que a gente sabe:
Logo, a probabilidade dele não conseguir chegar na final é 0,664 ou 66,4%.
Resposta
Exercício Resolvido #8
Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,110 -09
Problema 3: Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio ?
No espaço amostral do problema 3, atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade (assim, AA tem probabilidade ).
a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos do espaço amostral é 1.
b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida calcule a probabilidade de que B vença.
c) Qual a probabilidade de que não haja decisão?
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema 3.
Para terminar o torneio duas coisas podem acontecer:
- Vamos olhar para o caso e escrever os possíveis eventos do nosso espaço amostral:
(AA) o jogador A ganhou a primeira partida contra B e a segunda contra C.
(BB) Análogo ao caso AA. O jogador B ganhou a primeira partida contra A e a segunda contra C.
(ACC) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C. Já C, ganhou a segunda partida contra A e ganhou a terceira partida que foi contra B.
(BCC) Análogo ao caso ACC.
(ACBB) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.
(BCAA) Análogo ao caso ACBB.
Passo 2
- Vamos olhar para o caso (ii) e escrever os possíveis eventos:
(ACBB) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.
(BCAA) Análogo ao caso ACBB.
Esses dois eventos nós já vimos no caso 1, pois atendem aos dois eventos pensados, belezinha?!
Continuando...
(ACBA) O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e perde.
(BCAB) O jogador B ganhou a primeira partida contra A, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra A, que foi o vitorioso. A por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com B e perde.
Show de bola?!
Passo 3
Beleza! Agora que conhecemos os possíveis resultados, podemos calcular a probabilidade de cada um ocorrer seguindo a regra do enunciado: atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade (assim, AA tem probabilidade ).
Assim:
- K=2
- K=3
- K=4
P(AA)
P(BB)
P(ACC)
P(BCC)
P(ACBB)
P(BCAA)
P(ACBA)
P(BCAB)
Então a soma das probabilidades é:
Pronto, provamos o que foi pedido na letra (A)!
Passo 4
b)
Na letra (B) precisamos calcular a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida, calcular a probabilidade de que B vença.
Se você reparar, a probabilidade de A vencer será:
Da mesma forma, a probabilidade de vencer será:
Show de bola?!
Passo 5
c)
Neste caso, queremos saber a probabilidade de termos quatro partidas sem nenhum vencedor. Isso acontecerá quando forem disputadas, ao todo, quatro partidas, porém não houve nenhum vencedor. Para isso vamos utilizar os dois possíveis cenários:
Resposta
a)
A soma das probabilidade dá
b)