Cálculo de Probabilidades - Introdução

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Teoria

Introdução

Cara, sabe quando você está jogando algum jogo, e quer saber as chances de vencer? Ou então, quando lança um dado e quer saber a chance de sair o número 3?

É pra isso que a probabilidade serve! A probabilidade é uma forma de calcular as chances de algo que você quer que aconteça.

Como calcular?

Vamos falar de uma definição que é MEGA importante.

Do que eu estou falando? Tô falando daquele conceito clássico que você viu no ensino médio, onde seja A um evento qualquer do espaço amostral Ω . A probabilidade de A ocorrer, denotada por P ( A ) , é dada por:

Resultados favoráveis são os que concordam com o evento, entende?

Tipo, no caso do evento A = s a i r   n ú m e r o   p a r   n o   d a d o , os resultados favoráveis seriam 2,4 , 6 , que são os números pares do dado.

Exemplo: O estacionamento de um prédio possui   30 vagas, 2 para cada apartamento. Um morador novo chega ao prédio e sem saber quais vagas são suas resolve estacionar em qualquer uma. Qual a probabilidade de ele estacionar na vaga certa ?

Passo 1) Qual é o evento que queremos? A = e s t a c i o n a r   n a   v a g a   c e r t a .

Dados do problema:

# ( A ) = n° de resultados favoráveis = 2 (que são as vagas do cara)

# ( Ω ) = n° de resultados possíveis = 30 (total de vagas)

Passo 2) Calculamos P ( A ) pela fórmula

P A = 2 30 = 1 15

Probabilidade de complementares

Lembra aquela história de eventos complementares? Por exemplo, um evento A : sair números pares num dado é complementar ao evento B : sair números ímpares num dado.

Uma coisa legal à respeito disso é que:

P B = P A C = 1 - P A

E isso fica claro olhando nosso diagrama aqui em baixo:

Temos que P Ω = 1 , já que Ω é todo nosso espaço amostral! Então:

P A C =   P Ω - P A = 1 - P A

Pra NUNCA se esquecer

Cara, você nunca, NUNCA, NUUUUNCA pode se esquecer do seguinte:

0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Porque afinal de contas, a probabilidade de um evento acontecer tá sempre entre 0 % (nenhuma chance) e 100 % .

Pode parecer óbvio, mas muita gente erra e os professores adoram dar zero em quem escreve probabilidades maiores que 1 ou probabilidades negativas, então toma cuidado em!

Outra parada muito importante, é a seguinte propriedade:

P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

Isso aí ocorre justamente por aquela propriedade de conjuntos muito semelhante a isso que vimos anteriormente!

Dados e Tabelas

Cara, nesse tipo de questão iremos usar COM CERTEZA aquela fórmulinha lá:

P A = n° de resultados favoráveis n° de resultados possíveis = # A # ( Ω )

Isso vai acontecer pois estamos trabalhando com dados e/ou tabelas, ou seja, tudo quantitativo. Iremos trabalhar com a quantidade de pessoas, de grupos que realizam certas atividades.

O importante aqui é ter calma na hora de analisar nosssa tabela ou dado. Primeiro procure o evento em questão e depois busque o espaço amostral. Geralmente o espaço amostral vai ser constituído de uma soma (do seu evento e do complementar dele).

Ex.:

Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos relacionados a esse experimento aleatório.

A :   sair número par

B :  sair número maior que 4

C :  sair 7

Determine agora:

a )   P A , P B e P ( C ) ;

Sabemos que:

Ω → 1,2 , 3,4 , 5,6

A → 2,4 , 6

B → { 5,6 }

Opa, e o C ?

Bom, quando um dado pode cair com o número 7 ?? Nunca né? Então esse conjunto que representa nosso evento C será um vazio!

C → ∅

Logo:

P A = # A # Ω = 3 6 = 1 2

P B = # B # Ω = 2 6 = 1 3

E:

P C = # C # Ω = 0 6 = 0 → Evento impossível

Note que estamos realizando uma análise QUANTITATIVA. Estamos olhando quantas vezes o evento A ocorre para enfim substituirmos na nossa expressão clássica!

Vamos praticar um pouco mais!

Probabilidade de complementares

Pra NUNCA se esquecer

Dados e Tabelas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um candidato a motorista treina na auto-escola e acredita que passa no exame com probabilidade 0,7. Se não passar, fará mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentará em 10% a probabilidade de passar, isto é, no segundo exame passará com 0,77 de probabilidade.

Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibilidade, em que exame será aprovado com certeza?

Passo 1

Pra essa questão, nada melhor do que montar um diagrama. Olha só:

O enunciado diz que a cada vez que ele reprova, aumentam as chances dele passar em 10%.

Ou seja, na segunda tentativa ele terá uma probabilidade de passar de: 0,70.1,1=0,77

Na terceira: 0,77.1,1 = 0,847

Na quarta: 0,847.1,1=0,9317

Na quinta 0,9317.1,1=1,02487 →   ou seja, na quinta tentativa a chance dele passar ultrapassa 1, ou seja, ultrapassa 100%. Isso quer dizer que com certeza ele será aprovado.

Resposta

5ª tentativa.

Exercício Resolvido #2

Retira-se uma carta de um baralho. Qual a probabilidade da carta retirada ser uma dama ou uma carta de copas?

Passo 1

Definir os eventos:

A = c a r t a   s e r   u m a   d a m a

B = c a r t a   s e r   d e   c o p a s

O que queremos?

P ( A ∪ B )

Probabilidade de ser um ou outro.

Sabemos que:

P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

Passo 2

Determinar P A , P ( B ) e P A ∩ B .

Se você não se lembra bem, um baralho é composto por 52 cartas, divididas em 4 naipes (espadas, copas, paus e ouros). Cada um desses naipes possui 13 cartas, (às, 1, 2, 3..., 10, dama, valete e rei). Então temos 4 damas totais em um baralho, uma de cada naipe.

Como são 4 damas em 52 cartas,

P A = 4 52 = 1 13

Como cada naipe possui 13 cartas,

P B = 13 52 = 1 4

E:

P A ∩ B = 1 52

Lembrando que a interseção é a dama de copas.

Passo 3

Substituir na fórmula inicial.

P A ∪ B = 1 13 + 1 4 - 1 52 = 16 52

Resposta

16 52 = 4 13

Exercício Resolvido #3

Considere um urna contendo três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição.

a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades.

b) Mesmo problema, para extrações com reposição.

Passo 1

a) Quero saber os meus resultados possíveis, ou seja, os eventos do meu espaço amostral. E além disso quero a probabilidade de cada um deles.

Vamos lá!

Na minha urna eu tenho 3 bolas pretas (PPP) e cinco bolas vermelhas (VVVVV). Então meus eventos possíveis serão:

{(PP); (PV); (VP), (VV)}

Agora vamos calcular as probabilidades:

Sabemos que P A = # A # Ω , logo em um caso SEM reposição teremos:

Evento A (PP): 3 8 . 2 7 = 6 56

Evento B (PV): 3 8 . 5 7 = 15 56

Evento C (VP): 5 8 . 3 7 = 15 56

Evento D (VV): 5 8 . 4 7 = 20 56

Note que: no caso sem reposição a quantidade total de bolas varia e a quantidade de bolas de cada cor depende da cor que foi retirada anteriormente.

Passo 2

b) Em um caso COM reposição teríamos:

Evento A (PP): 3 8 . 3 8 = 9 64

Evento B (PV): 3 8 . 5 8 = 15 64

Evento C (VP): 5 8 . 3 8 = 15 64

Evento D (VV): 5 8 . 5 8 = 25 64

Note que neste caso a quantidade total de bolas não varia e a probabilidade da segunda independe da primeira retirada.

Resposta

a) Evento A : 6 56

Evento B:   15   56

Evento C: 15 56

Evento D: 20 56

b) Evento A: 9 64

Evento B: 15 64

Evento C: 15 64

Evento D: 25 64

Exercício Resolvido #4

Considere que a empresa M&B tenha 15.800 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo. Suponha que escolhamos dois empregados ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que:

a) ambos sejam do sexo masculino;

b) o primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e tenha menos de 25 anos;

c) nenhum tenha menos de 25 anos.

Passo 1

a) Probabilidade de ambos empregados serem do sexo masculino

Sabemos que a probabilidade de um evento A é dada por:

P A = # A # Ω

Então teremos:

Evento W: Sortear dois funcionários homens

P W = 8.300 15800 . 8300 15800 = 8300 15800 2

Passo 2

b) O primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e tenha menos de 25 anos;

Evento X: Sortear um funcionário que tenha menos de 25 anos

P X = 2.800 15.800

Evento Y: Sortear um funcionário homem que tenha menos de 25 anos

P Y = 2000 15800

Assim, a probabilidade será:

P X . P Y = 2800 15800 . 2000 15800 = 2800.2000 15800 2

Passo 3

c) nenhum tenha menos de 25 anos.

Agora vamos querer a probabilidade de sortear dois funcionários que tenha mais de 25 anos, ou seja, nenhum tenha menos de 25 anos.

P Z = 7000 + 6000 15800 2 = 13000 15800 2

Resposta

a)   8300 15800 2

b)   2800.2000 15800 2

c) 13000 15800 2

Exercício Resolvido #5

Em um bairro existem 20 mil residências que podem ser atendidas por 3 empresas de TV a cabo. A empresa A tem 2100 assinantes, a empresa B tem 1850 e a empresa C tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de A e B , 120 de A e C , 180 de B e C e 30 que são assinantes das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual é a probabilidade de:

  1. Ser assinante apenas da empresa A ?
  2. Assinar pelo menos uma delas?
  3. Não ter TV a cabo?

Passo 1

Temos um total de 20000 residências que podem ser atendidas por três empresas de TV diferentes → A , B , C .

Vamos anotar os dados que o problema dá:

A → 2100   a s s i n a n t e s

B → 1850   a s s i n a n t e s

C → 2600   a s s i n a n t e s

Esses são os totais de usuários de cada empresa... mas também temos usuários que usam serviços de mais de uma empresa. Esses valores nos dão:

A ∩ B → 420   a s s i n a n t e s

A ∩ C → 120   a s s i n a n t e s

B ∩ C → 180   a s s i n a n t e s

A ∩ B ∩ C → 30   a s s i n a n t e s

Passo 2

Pra facilitar a gente a resolver todos os itens, vamos usar aquela ideia de conjuntos?

Vamos ter três conjuntos, um pra cada empresa, e já conhecemos todas as interseções.

Para preencher começamos pela interseção entre as três empresas que vale 30 e depois pelas interseções entre duas (descontando o 30 ) e por fim pro valor total de assinantes de cada empresa (sem esquecer de descontar todas as interseções).

Por fim, ficamos com isso aqui:

Passo 3

(a)

Olhando no nosso esquema de conjuntos, a gente vê que só 1590 residências são assinantes somente da empresa A .

Então a probabilidade da escolhida ser assinante só de A é:

= 1590 20000

= 0,0795

Lembrando que 20000 é o total de residências.

Passo 4

(b)

Pra achar essa probabilidade, a gente precisa encontrar o número total de pessoas que assinam, certo? Afinal de contas, a probabilidade de pelo menos uma pessoa assinar é a probabilidade de ocorrerem assinaturas. Pra encontrar esse número, podemos somar todos os números que aparecem no nosso esquema de conjuntos ou utilizar a fórmula da união de conjuntos. Assim:

A U B U C = 1590 + 90 + 30 + 390 + 150 + 2330 + 1280

= 5860

Mas veja, podemos obter essa resposta também usando:

A U B U C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C

A U B U C = 2100 + 1850 + 2600 - 420 - 120 - 180 + 30

A U B U C = 5860

E daí a probabilidade será:

= 5860 20000

= 0,293

Passo 5

(c)

Se o nosso esquema representa as residências que tem pelo menos uma TV à cabo, pra saber o total de residências sem nenhuma, é só fazer...

20000 - 5860 = 14140   r e s i d ê n c i a s   s e m   T V   à   c a b o

E daí a probabilidade vai ser:

= 14140 20000

= 0,707

Você poderia pensar também que:

P n ã o   t e r   n e n h u m a   T V   à   c a b o = 1 - P t e r   p e l o   m e n o s   u m a

E isso a gente tinha calculado antes:

P t e r   p e l o   m e n o s   u m a = 0,293

Daí:

P n ã o   t e r   n e n h u m a = 1 - 0,293

= 0,707

Resposta

a   0,0795

b   0,293

c   0,707

Exercício Resolvido #6

Considere o quadrado com vértices (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1). Suponha que a probabilidade de uma região A (evento) seja a área dessa região.

a) Represente graficamente o evento A = conjunto dos pontos cuja distância à origem seja menor ou igual a 1.

b) Calcule P(A)

c) Calcule a probabilidade do evento B = { x , y : x ≥ b   o u   y ≥ b } , onde b é um número tal que 0 < b < 1 .

d) Calcule P ( B C ) , onde B foi definido em (c).

Passo 1

a)Represente graficamente o evento A = conjunto dos pontos cuja distância à origem seja menor ou igual a 1.

Pelo enunciado podemos notar que a região que delimita o evento A é uma curva, um segmento de circunferência, cujo evento A é toda área delimitada por essa curva.

Passo 2

b) Determine P(A)

Após entendermos quem é A, a probabilidade de A ocorrer será:

P A = # A Ω

Onde utilizaremos a área como referência.

A área da região A é um quarto da área de uma circunferência de raio 1 e a área total é a área de um quadrado de lado 1.

P A = 1 4 π 1 2 1 2 = π 4

Passo 3

c) Calcule a probabilidade do evento B = x , y : x ≥ b   o u   y ≥ b , onde b é um número tal que 0 < b < 1 .

Primeiramente vamos entender quem é esse evento B com uma figura:

A área de B vai ser essa área verde.

Repare que a área branca que restou embaixo à esquerda vale b 2 . Ou seja, como a área do quadrado vale 1 , a área verde vale 1 - b 2 . Assim:

P B = á r e a   d e   B á r e a   t o t a l =   1 - b 2 1 = 1 - b 2

Passo 4

d) Calcule P ( B C ) , onde B foi definido em (c).

Temos simplesmente

P B C = 1 - P B = 1 - 1 - b 2 = b 2

Que é justamente aquela área que calculamos antes, do quadrado branco que está embaixo à esquerda na figura.

Resposta

a)

b)

π 4

c)

1 - b 2

d)

b 2

Exercício Resolvido #7

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

  1. Não consiga chegar até a final;

Passo 1

Fala Aíí!! Como no enunciado nos é dado a probabilidade de vitória em cada partida, iremos utilizar essas informações para resolver a questão, beleza?!

E como faremos isso?? Iremos calcular a probabilidade dele chegar na final e calcularemos o complementar disso. O complementar será a probabilidade dele não chegar na final. Show de bola?!

Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.

Quais os resultados possíveis?

e 1 :   eliminação na primeira partida

e 2 :   eliminação na segunda partida

e 3 :  eliminação na semifinal

e 4 :  eliminação na final

v :  vencer o torneio

Então, o nosso espaço amostral é:

Ω → e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , v

Passo 2

Agora vamos determinar a probabilidade de cada um desses resultados.

Se você reparar, no enunciado é dada a informação da probabilidade dele ganhar na primeira partida é de 80 % . Assim, a probabilidade dele perder de primeira é 1 menos a probabilidade dele ganhar a primeira partida, concorda? Portanto,

p e 1 = 1 - 0,80 = 0,2

Belezinha?!

Seguindo o mesmo raciocínio, a probabilidade dele perder na segunda partida é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. dele perder a segunda:

p e 2 = 0,8 × 1 - 0,7 = 0,24

Já ta dando pra pegar a ideia, né?! Vamos continuar com o mesmo racioncínio!!

A Probabilidade dele perder na terceira partida é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira hahahahaha

p e 3 = 0,8 × 0,7 × 1 - 0,6 = 0,224

Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.

p e 4 = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 1 - 0,5 = 0,168

E a prob. de vencer o torneio é:

p v = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 0,5 = 0,168

Assim já conseguimos calcular a probabilidade de cada um dos casos acontecerem.

Beleza?!

Passo 3

(a)

A questão nos pede para calcularmos a probabilidade dele não conseguir chegar a final.

Considerando:

F :  chegar na final

A gente pode dizer que F → { e 4 , v } , concorda? São os dois casos que a pessoa pelo menos chega a final.

Então:

P F = p e 4 + p v

P F = 0,336

Passo 4

Mas o exercício pede a probabilidade do cara não chegar a final, ou seja:

P F c =   ?

Pelo que a gente sabe:

P F c = 1 - P F

P F c = 1 - 0,336

P F c = 0,664

Logo, a probabilidade dele não conseguir chegar na final é 0,664 ou 66,4%.

Resposta

a   66,4 %

Exercício Resolvido #8

Problema 3: Três jogadores A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio ?

No espaço amostral do problema 3, atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade 1 2 k   (assim, AA tem probabilidade 1 4 ).

a) Mostre que a soma das probabilidades dos pontos do espaço amostral é 1.

b) Calcule a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida calcule a probabilidade de que B vença.

c) Qual a probabilidade de que não haja decisão?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema 3.

Para terminar o torneio duas coisas podem acontecer:

( i )   U m   j o g a d o r   g a n h a r   d u a s   p a r t i d a s   s e g u i d a s .

( i i )   S e r e m   d i s p u t a d a s   q u a t r o   p a r t i d a s   a o   t o d o .

- Vamos olhar para o caso ( i ) e escrever os possíveis eventos do nosso espaço amostral:

(AA) →   o jogador A ganhou a primeira partida contra B e a segunda contra C.

(BB) →   Análogo ao caso AA. O jogador B ganhou a primeira partida contra A e a segunda contra C.

(ACC) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C. Já C, ganhou a segunda partida contra A e ganhou a terceira partida que foi contra B.

(BCC) →   Análogo ao caso ACC.

(ACBB) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.

(BCAA) Análogo ao caso ACBB.

Passo 2

- Vamos olhar para o caso (ii) e escrever os possíveis eventos:

(ACBB) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo, o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e ganha.

(BCAA) Análogo ao caso ACBB.

Esses dois eventos nós já vimos no caso 1, pois atendem aos dois eventos pensados, belezinha?!

Continuando...

(ACBA) →   O jogador A ganhou a primeira partida contra B, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra B, que foi o vitorioso. B por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com A e perde.

(BCAB) →   O jogador B ganhou a primeira partida contra A, mas perdeu a segunda contra C (que foi o vitorioso). Contudo o C perdeu a terceira partida contra A, que foi o vitorioso. A por sua vez, que ganhou a terceira partida, disputa a quarta com B e perde.

Show de bola?!

Passo 3

Beleza! Agora que conhecemos os possíveis resultados, podemos calcular a probabilidade de cada um ocorrer seguindo a regra do enunciado: atribua a cada ponto contendo K letras a probabilidade 1 2 k   (assim, AA tem probabilidade 1 4 ).

Assim:

  • K=2
  • P(AA) → 1 2 2 = 1 4

    P(BB) →   1 2 2 = 1 4

  • K=3
  • P(ACC) →   1 2 3 = 1 8

    P(BCC) → 1 2 3 = 1 8

  • K=4

P(ACBB) →   1 2 4 = 1 16

P(BCAA) → 1 2 4 = 1 16

P(ACBA) →   1 2 4 = 1 16

P(BCAB) →   1 2 4 = 1 16

Então a soma das probabilidades é:

1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 = 2 4 + 2 8 + 4 16

= 1 2 + 1 4 + 1 4 = 1

Pronto, provamos o que foi pedido na letra (A)!

Passo 4

b)

Na letra (B) precisamos calcular a probabilidade de que A vença (um jogador vence quando ganha duas partidas seguidas). Em seguida, calcular a probabilidade de que B vença.

Se você reparar, a probabilidade de A vencer será:

P ( A )   =   P ( A A ) + P ( B C A A )   =   1 4 + 1 16 = 5 16

Da mesma forma, a probabilidade de B vencer será:

P ( B ) =   P ( B B ) + P ( A C B B )   =   5 16

Show de bola?!

Passo 5

c)

Neste caso, queremos saber a probabilidade de termos quatro partidas sem nenhum vencedor. Isso acontecerá quando forem disputadas, ao todo, quatro partidas, porém não houve nenhum vencedor. Para isso vamos utilizar os dois possíveis cenários:

P ( N ) =   P ( A C B A ) + P ( B C A B ) = 1 8

Resposta

a)

A soma das probabilidade dá

1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + 1 16 + 1 16 + 1 16 = 1

b)

P A = P B = 5 16