Cálculo de Probabilidades - Introdução

Teoria Completa

Introdução

Cara, sabe quando você está jogando algum jogo, e quer saber as chances de vencer? Ou então, quando lança um dado e quer saber a chance de sair o número 3?

É pra isso que a probabilidade serve! A probabilidade é uma forma de calcular as chances de algo que você quer que aconteça.

Como calcular?

Vamos falar de uma definição que é MEGA importante.

Do que eu estou falando? Tô falando daquele conceito clássico que você viu no ensino médio, onde seja A um evento qualquer do espaço amostral Ω . A probabilidade de A ocorrer, denotada por P ( A ) , é dada por:

Resultados favoráveis são os que concordam com o evento, entende?

Tipo, no caso do evento A = s a i r   n ú m e r o   p a r   n o   d a d o , os resultados favoráveis seriam 2,4 , 6 , que são os números pares do dado.

Exemplo: O estacionamento de um prédio possui   30 vagas, 2 para cada apartamento. Um morador novo chega ao prédio e sem saber quais vagas são suas resolve estacionar em qualquer uma. Qual a probabilidade de ele estacionar na vaga certa ?

Passo 1) Qual é o evento que queremos? A = e s t a c i o n a r   n a   v a g a   c e r t a .

Dados do problema:

# ( A ) = n° de resultados favoráveis = 2 (que são as vagas do cara)

# ( Ω ) = n° de resultados possíveis = 30 (total de vagas)

Passo 2) Calculamos P ( A ) pela fórmula

P A = 2 30 = 1 15

Probabilidade de complementares

Lembra aquela história de eventos complementares? Por exemplo, um evento A : sair números pares num dado é complementar ao evento B : sair números ímpares num dado.

Uma coisa legal à respeito disso é que:

P B = P A C = 1 - P A

E isso fica claro olhando nosso diagrama aqui em baixo:

Temos que P Ω = 1 , já que Ω é todo nosso espaço amostral! Então:

P A C =   P Ω - P A = 1 - P A

Pra NUNCA se esquecer

Cara, você nunca, NUNCA, NUUUUNCA pode se esquecer do seguinte:

0 ≤ P ( A ) ≤ 1

Porque afinal de contas, a probabilidade de um evento acontecer tá sempre entre 0 % (nenhuma chance) e 100 % .

Pode parecer óbvio, mas muita gente erra e os professores adoram dar zero em quem escreve probabilidades maiores que 1 ou probabilidades negativas, então toma cuidado em!

Outra parada muito importante, é a seguinte propriedade:

P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

Isso aí ocorre justamente por aquela propriedade de conjuntos muito semelhante a isso que vimos anteriormente!

Dados e Tabelas

Cara, nesse tipo de questão iremos usar COM CERTEZA aquela fórmulinha lá:

P A = n° de resultados favoráveis n° de resultados possíveis = # A # ( Ω )

Isso vai acontecer pois estamos trabalhando com dados e/ou tabelas, ou seja, tudo quantitativo. Iremos trabalhar com a quantidade de pessoas, de grupos que realizam certas atividades.

O importante aqui é ter calma na hora de analisar nosssa tabela ou dado. Primeiro procure o evento em questão e depois busque o espaço amostral. Geralmente o espaço amostral vai ser constituído de uma soma (do seu evento e do complementar dele).

Ex.:

Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos relacionados a esse experimento aleatório.

A :   sair número par

B :  sair número maior que 4

C :  sair 7

Determine agora:

a )   P A , P B e P ( C ) ;

Sabemos que:

Ω → 1,2 , 3,4 , 5,6

A → 2,4 , 6

B → { 5,6 }

Opa, e o C ?

Bom, quando um dado pode cair com o número 7 ?? Nunca né? Então esse conjunto que representa nosso evento C será um vazio!

C → ∅

Logo:

P A = # A # Ω = 3 6 = 1 2

P B = # B # Ω = 2 6 = 1 3

E:

P C = # C # Ω = 0 6 = 0 → Evento impossível

Note que estamos realizando uma análise QUANTITATIVA. Estamos olhando quantas vezes o evento A ocorre para enfim substituirmos na nossa expressão clássica!

Vamos praticar um pouco mais!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 56-29

Um candidato a motorista treina na auto-escola e acredita que passa no exame com probabilidade 0,7. Se não passar, fará mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentará em 10% a probabilidade de passar, isto é, no segundo exame passará com 0,77 de probabilidade.

Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibilidade, em que exame será aprovado com certeza?

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Passo 1

Pra essa questão, nada melhor do que montar um diagrama. Olha só:

O enunciado diz que a cada vez que ele reprova, aumentam as chances dele passar em 10%.

Ou seja, na segunda tentativa ele terá uma probabilidade de passar de: 0,70.1,1=0,77

Na terceira: 0,77.1,1 = 0,847

Na quarta: 0,847.1,1=0,9317

Na quinta 0,9317.1,1=1,02487 →   ou seja, na quinta tentativa a chance dele passar ultrapassa 1, ou seja, ultrapassa 100%. Isso quer dizer que com certeza ele será aprovado.

Resposta

5ª tentativa.

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria.

Retira-se uma carta de um baralho. Qual a probabilidade da carta retirada ser uma dama ou uma carta de copas?

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Passo 1

Definir os eventos:

A = c a r t a   s e r   u m a   d a m a

B = c a r t a   s e r   d e   c o p a s

O que queremos?

P ( A ∪ B )

Probabilidade de ser um ou outro.

Sabemos que:

P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B )

Passo 2

Determinar P A , P ( B ) e P A ∩ B .

Se você não se lembra bem, um baralho é composto por 52 cartas, divididas em 4 naipes (espadas, copas, paus e ouros). Cada um desses naipes possui 13 cartas, (às, 1, 2, 3..., 10, dama, valete e rei). Então temos 4 damas totais em um baralho, uma de cada naipe.

Como são 4 damas em 52 cartas,

P A = 4 52 = 1 13

Como cada naipe possui 13 cartas,

P B = 13 52 = 1 4

E:

P A ∩ B = 1 52

Lembrando que a interseção é a dama de copas.

Passo 3

Substituir na fórmula inicial.

P A ∪ B = 1 13 + 1 4 - 1 52 = 16 52

Resposta

16 52 = 4 13

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 115-15

Considere um urna contendo três bolas pretas e cinco bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna, sem reposição.

a) Obtenha os resultados possíveis e as respectivas probabilidades.

b) Mesmo problema, para extrações com reposição.

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Passo 1

a) Quero saber os meus resultados possíveis, ou seja, os eventos do meu espaço amostral. E além disso quero a probabilidade de cada um deles.

Vamos lá!

Na minha urna eu tenho 3 bolas pretas (PPP) e cinco bolas vermelhas (VVVVV). Então meus eventos possíveis serão:

{(PP); (PV); (VP), (VV)}

Agora vamos calcular as probabilidades:

Sabemos que P A = # A # Ω , logo em um caso SEM reposição teremos:

Evento A (PP): 3 8 . 2 7 = 6 56

Evento B (PV): 3 8 . 5 7 = 15 56

Evento C (VP): 5 8 . 3 7 = 15 56

Evento D (VV): 5 8 . 4 7 = 20 56

Note que: no caso sem reposição a quantidade total de bolas varia e a quantidade de bolas de cada cor depende da cor que foi retirada anteriormente.

Passo 2

b) Em um caso COM reposição teríamos:

Evento A (PP): 3 8 . 3 8 = 9 64

Evento B (PV): 3 8 . 5 8 = 15 64

Evento C (VP): 5 8 . 3 8 = 15 64

Evento D (VV): 5 8 . 5 8 = 25 64

Note que neste caso a quantidade total de bolas não varia e a probabilidade da segunda independe da primeira retirada.

Resposta

a) Evento A : 6 56

Evento B:   15   56

Evento C: 15 56

Evento D: 20 56

b) Evento A: 9 64

Evento B: 15 64

Evento C: 15 64

Evento D: 25 64

Exercício Resolvido #4

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 124-41

Considere que a empresa M&B tenha 15.800 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo. Suponha que escolhamos dois empregados ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que:

a) ambos sejam do sexo masculino;

b) o primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e tenha menos de 25 anos;

c) nenhum tenha menos de 25 anos.

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Passo 1

a) Probabilidade de ambos empregados serem do sexo masculino

Sabemos que a probabilidade de um evento A é dada por:

P A = # A # Ω

Então teremos:

Evento W: Sortear dois funcionários homens

P W = 8.300 15800 . 8300 15800 = 8300 15800 2

Passo 2

b) O primeiro tenha menos de 25 anos, e o segundo seja do sexo masculino e tenha menos de 25 anos;

Evento X: Sortear um funcionário que tenha menos de 25 anos

P X = 2.800 15.800

Evento Y: Sortear um funcionário homem que tenha menos de 25 anos

P Y = 2000 15800

Assim, a probabilidade será:

P X . P Y = 2800 15800 . 2000 15800 = 2800.2000 15800 2

Passo 3

c) nenhum tenha menos de 25 anos.

Agora vamos querer a probabilidade de sortear dois funcionários que tenha mais de 25 anos, ou seja, nenhum tenha menos de 25 anos.

P Z = 7000 + 6000 15800 2 = 13000 15800 2

Resposta

a)   8300 15800 2

b)   2800.2000 15800 2

c) 13000 15800 2

Exercício Resolvido #5

UFRJ-PF-2015.1.-1

Em um bairro existem 20 mil residências que podem ser atendidas por 3 empresas de TV a cabo. A empresa A tem 2100 assinantes, a empresa B tem 1850 e a empresa C tem 2600 assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são assinantes de A e B , 120 de A e C