Intervalo de Confiança para Diferença entre Proporções

Teoria Completa

Se a gente viu como constrói IC para diferença entre duas médias, é óbvio que não vamos querer deixar nossa querida proporção de fora!

Vamos aprender a fazer essa budega por esse exemplo:

“Uma amostra de 760 estudantes de uma faculdade A alegou que 70% deles deixa para estudar a matéria na véspera da prova. Uma outra amostra de 800 estudantes de uma faculdade B alegou que só 65% deles estudo tudo na véspera. Construa um intervalo de confiança de 90% para a diferença ( p 1 - p 2 ) entre as proporções populacionais de estudantes das faculdades que estudam só na véspera.”

Reparou as diferenças? Agora vamos querer construir um IC para duas propoções populacionais p 1 e p 2 , e vamos conhecer as proporções amostrais p ^ 1 e p ^ 2 retiradas de amostras vindas dessas populações. Vamos nomear os nossos bois.

Temos a proporção amostral da faculdade A:

p ^ 1 = 0,70

E a proporção amostral da faculdade B:

p ^ 2 = 0,65

Também temos o tamanho das nossas amostras. Vamos chamar de n a amostra da população 1 (faculdade A) e m a amostra da população 2 (faculdade B):

n = 760

m = 800

Nosso IC para ( p 1 - p 2 ) a um nível de confiança de 100 1 - α % vai ser dado por:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

Mesmo padrão de sempre, percebeu? Os p ^ nós já conhecemos! E o nosso d agora é dado por:

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m

Vamos resolver nosso exemplo então!

Passo 1) Calcular α e z 1 - α 2

O nível de confiança pedido é de 90%, então...

1 - α = 0,90 → α = 0,10

Daí temos que nosso z vai ser:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,10 2 = z 0,95

Procurando esse cara na tabela temos que:

z 0,95 = 1,64

Passo 2) Calcular d

Substituindo os valores conhecidos para acharmos d :

d = z 1 - α 2 × p ^ 1 ( 1 - p ^ 1 ) n + p ^ 2 ( 1 - p ^ 2 ) m = 1,64 × 0,70 ( 1 - 0,70 ) 760 + 0,65 ( 1 - 0,65 ) 800

d = 0,0374

Passo 3) Construir o IC

Agora podemos substituir geral na fórmula:

I C = ( p ^ 1 - p ^ 2 - d ; ( p ^ 1 - p ^ 2 ) + d ]

I C = [ 0,70 - 0,65 - 0,0374 ; 0,70 - 0,65 + 0,0374 ]

I C = [ 0,0126 ; 0,0874 ]

Ou seja, acabamos de garantir com 90% de confiança que a diferença entre as proporções é de no mínimo 1,26 % até o máximo de 8,74 % !

Foi? Partiu fazer exercício então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,330-03

Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula aquela que para você leva a um erro do tipo I mais importante. Descobre quais dos dois erros em cada caso.

a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses:

1. Está tendo um ataque

2. tudo bem, apenas uma leve interferência.

b) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são:

1. a vacina é eficaz;

2. a vacina não é eficaz.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar a letra a)

O trabalho do operador é detectar aeronaves inimigas, portanto o erro é rejeitar a afirmação de um ataque, quando o mesmo está ocorrendo é gravíssima. Assim,

H 0 : E s t á   t e n d o   u m   a t a q u e

E r r o   I : R e j e i t a r   H 0 ,   o   f a t o   d e   e s t a r   t e n d o   u m   a t a q u e ,   q u a n d o   o   m e s m o   é   v e r d a d e i r o .

H 1 :   t u d o   b e m ,   a p e n a s   u m a   l e v e   i n t e r f e r ê n c i a  

E r r o   I I : A c e i t a r   H 0   q u a n d o   a   m e s m a   é   f a l s a

Passo 2

Analisando a letra b)

Mesmo que não exista nenhum efeito colateral é pior distribuir algo que não ajuda em nada, ou seja, nossa hipótese deve ser que a vacina não é eficaz.

H 0 : v a c i n a   i n e f i c a z

E r r o   I : Dizer que a vacina é eficaz, quando H 0 é verdadeira, ou seja, quando ela não é.

H 1 :   v a c i n a   e f i c a z .  

E r r o   I I : Aceitar H 0 quando a mesma é falsa

Resposta

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,330-05 - Modificada

A variável X, custo de manutenção de um tear, pode ser considerada como tendo distribuição normal de média μ e desvio padrão 20 unidades. Os valores possíveis de μ podem ser 200 ou 210. Para verificar qual dos dois é o mais provável, utiliza-se uma amostra de 25 teares. Defina:

a) Uma hipótese a ser estudada

b) Uma regra de decisão e enuncie as probabilidades dos erros do tipo I e II.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar a letra a)

Como o enunciado não diz nada diferente, podemos escolher de forma aleatória. Então:

H 0 : A -   μ = 210   e   σ = 20

H 1 : B - μ = 200   e   σ = 20

Passo 2

b) Uma regra de decisão e encontre as probabilidades dos erros do tipo I e II.

O enunciado pede para montarmos uma regra de decisão e a partir dela enunciar as probabilidades.

Vamos escolher como ponto crítico o 205, ou seja:

Dessa forma vamos falar:

P e r r o I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   B   q u a n d o   s ã o   d e   A = P x - ≤ 205 o   p a í s   p r o d u t o r   é   A )

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a = α

P e r r o I I = P d i z e r   q u e   s ã o   d e   A   q u a n d o   s ã o   d e   B = P x - ≥ 205 o   p a í s   p r o d u t o r   é   B

P e r r o I I = P x - ∋ R C H 1   é   v e r d a d e i r a = β

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas