Enunciado

Um componente tem uma vida útil X com distribuição exponencial de parâmetro. a. Se o custo operacional por unidade de tempo for c, qual será o custo operacional esperado desse componente durante sua vida útil? b. Em vez de uma taxa de custo constante c como na parte (a), suponha que a taxa de custo seja c(1 0,5eax) com a 0, de forma que o custo por unidade de tempo é menor do que c quando o componente é novo e fica mais caro à medida que o componente envelhece. Calcule agora o custo operacional esperado durante a vida útil do componente.

Passo 1

É dado que X denota o número de placas de circuito defeituosas entre o lote de 250 placas. Como após o teste dos tocadores de disco, a porcentagem de defeitos de longo prazo é de 5 % . Então podemos dizer que X tem uma distribuição binomial com parâmetros

n = 250

p = 0.05

Agora verificamos os seguintes produtos:

n p = 250 0.05 = 12.5

n q = 250 1 - 0.05 = 237.5

Desde n p ≥ 10 e n q   ≥ 10

Portanto, podemos usar a aproximação normal. Então a média e o desvio padrão de X são dados como:

μ = n ∙ p = 250 0.05 = 12.5

σ = n ∙ p 1 - p = 3.446

Portanto, podemos dizer que XX é aproximadamente distribuído como N ( 12,5 ,   3,446 )

Passo 2

  1. Como 10 % de 250 é 25, portanto, a probabilidade aproximada de que pelo menos 10 % das placas do lote sejam defeituosas pode ser representada como P ( X   ≥ 25 ) . Condição de continuidade e padronização dá:
  2. X n o r m a l   ≥ 24.5

    Se, e apenas

    X n o r m a l - 12.5 3.446 ≥ 24.5 - 12.5 3.446

    X n o r m a l - 12.5 3.446 ≥ 12 3.48

    Z ≥ 3.48

    Desta forma

    P X   ≥ 25 = P Z ≥ 3.48

    = 1 - ϕ 3.48

    = 1 - 0.9997

    P X ≥ 25 = 0.0003

    Proposição: Seja Z uma va contínua com cdf ϕ ( z ) . Então para qualquer a e b com a > b

    P b   ≤ Z   ≤ a = ϕ a - ϕ b

    P Z   ≤ a = ϕ ( a )

    Passo 3

  3. A probabilidade aproximada de que haja exatamente 10 defeituosos no lote pode ser representada como P   X = 10

Usando a correlação de continuidade, torna-se:

P   X = 10 = P 9.5   ≤ X n o r m a l   ≤ 10.5

A padronização dá:

9.5   ≤ X ≤ 10.5

Se e apenas se

9.5 - 12.5 3.446   ≤ X - 12.5 3.446 ≤ 10.5 - 12.5 3.446

- 3 3.446 ≤ X - 12.5 3.446 ≤ - 2 3.446

- 0.87   ≤ Z ≤ - 0.58

Desta forma

P X = 10 = P - 0.87 ≤ Z ≤ - 0.58

= ϕ - 0.58 - ϕ - 0.87

= 0.2810 - 0.1922

P X = 10 = 0.0888

Resposta

  1. 0.0003
  2. 0.0888

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Suponha que X tenha distribuição uniforme sobre 0 ,α ,o n d eα0 . Responda às perguntas o Probl. 4.20.
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Determine o valor esperado das seguintes variáveis aleatórias:A variável aleatória definida no Problema 4.1.
Determine o valor esperado das seguintes variáveis aleatórias:A variável aleatória definida no Problema 4.2.
Mostre que E(X) não existe para variável aleatória X definida no problema 4.25.