Enunciado

11-69. A seguir, estão mostrados o teste final e as médias dos exames

de 20 estudantes selecionados aleatoriamente, tirados de um curso de

estatistica para engenheiros e de um eurso de pesquisas opcracionais.

Considere que as médias finais estejam distribuidas normal e conjunta-

mente.

a) Encontre a linha de regressão relacionando a média final de Estatís-

tica com a média final de pesquisas operacionais (PO).

b) Teste a signilieância da regressão, usando a - 0.05.

c) Fstime o cocficiente de correlacão.

id) Teste a hipotese de quc p - O usando a - 0.05.

c) Teste a hipótese de que p-0.5 usando a =0.05.

d) Construa um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente de

correlacio.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Dados:

n = 20

Letra a:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 1002 , ∑ Y = 1587 , ∑ X ⋅ Y = 128603 , ∑ X 2 = 129818

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

a = ∑ Y ⋅ ∑ X 2 - ∑ X ⋅ ∑ X Y n ⋅ ∑ X 2 - ∑ X 2 = 1587 ⋅ 129818 - 1602 ⋅ 128603 20 ⋅ 129818 - 1602 2 ≈ - 0.028 b = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ⋅ ∑ X 2 - ∑ X 2 = 20 ⋅ 128603 - 1602 ⋅ 1587 20 ⋅ 129818 - ( 1602 ) 2 ≈ 0.991

Substitua a e b na fórmula da equação de regressão:

y = a + b ⋅ x y = - 0.028 + 0.991 ⋅ x

PO está no eixo horizontal e Estatísticas está no eixo vertical.

Passo 2

Letra b:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 1587 , ∑ Y = 1602 , ∑ X ⋅ Y = 128603 , ∑ X 2 = 127731 , ∑ Y 2 = 129818

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

r = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 ⋅ n ∑ Y 2 - ∑ Y 2 r 20 ⋅ 128603 - 1587 ⋅ 1602 20 ⋅ 127731 - 1587 2 ⋅ 20 ⋅ 129818 - 1602 2 ≈ 0.9033

Passo 3

H 0 : ρ = 0 N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r

H 1 : ρ ≠ 0  (Há correlação linear)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9033 - 0 1 - 0.9033 2 20 - 2 ≈ 8.933

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 20 - 2 = 18

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.

Passo 4

Letra c:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 1587 , ∑ Y = 1602 , ∑ X ⋅ Y = 128603 , ∑ X 2 = 127731 , ∑ Y 2 = 129818

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

r = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 ⋅ n ∑ Y 2 - ∑ Y 2 r 20 ⋅ 128603 - 1587 ⋅ 1602 20 ⋅ 127731 - 1587 2 ⋅ 20 ⋅ 129818 - 1602 2 ≈ 0.9033

Passo 5

Letra d:

H 0 : ρ = 0 N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r

H 1 : ρ ≠ 0  (Há correlação linear)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9033 - 0 1 - 0.9033 2 20 - 2 ≈ 8.933

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 20 - 2 = 18

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear.

Passo 6

Letra e:

H 0 : ρ = 0.5 H 1 : ρ ≠ 0.5

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9033 - 0.5 1 - 0.9033 2 20 - 2 ≈ 3.988

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 20 - 2 = 18

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a correlação é diferente de 0.5.

Passo 7

Letra f:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

  z α 2 = 1.96

Os limites do intervalo de confiança para o coeficiente de correlação são então:

  t a n h    arctanh  r - z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.9033 - 1.96 20 - 3 ≈ 0.7676   t a n h    arctanh  r + z α / 2 n - 3 = t a n h ⁡ a r c t a n h ⁡ 0.9033 + 1.96 20 - 3 ≈ 0.9615

Resposta

  1. y ^ = 14.76 + 0.823 x
  2. Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.
  3. r = 0.9033
  4. Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear
  5. Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a correlação é diferente de 0.5.
  6. 0.7676 ≤ ρ ≤ 0.9615
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