Enunciado

11-71. Em um artigo na revista IEEE Transactions on Inirumentation

and Measuremenr (2001. Vof. 50.pp. 986 990). pesquisadores estuda-

ramos efeitos de reduzir. por meios eletronicos, a perda de corrente em

um núcleo magnético. Realizando um expenmento emparelhado, eles

mediram a corrente em um enrolamento magnético com e sem a cletro-

nica. sendo os dados para o caso sem eletrônica apresentados na tabela

a seguir.

a) Faça um gráfico e ajuste uma linha de regressão para prever a cor-

rente sem cletronica em função do suprimento de voltagem. Há uma

regressao signifieativa para a = 0.057 Qual é o valor P'

b) Estime o coeliciente de correlação.

c) Teste a hipotese de que p - O contra a altemativa p 0 usando a -

0.05. Qual é o valor P?

d) Calcule um intervalo de conliança de 95% para o cocficiente de

correlacao.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Dados:

n = 10

Letra a:

A tensão de alimentação está no eixo horizontal e a corrente sem eletrônica está no eixo vertical.

Passo 2

Determine a equação de regressão de mínimos quadrados:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 34.3 , ∑ Y = 286.01 , ∑ X ⋅ Y = 1202.8182 , ∑ X 2 = 150.586

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

a = ∑ Y ⋅ ∑ X 2 - ∑ X ⋅ ∑ X Y n ⋅ ∑ X 2 - ∑ X 2 = 286.01 ⋅ 150.586 - 34.3 ⋅ 1202.8182 10 ⋅ 150.586 - 34.3 2 = 5.503 b = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ⋅ ∑ X 2 - ∑ X 2 = 10 ⋅ 1202.8182 - 34.3 ⋅ 286.01 10 ⋅ 150.586 - ( 34.3 ) 2 ≈ 6.734

Substitua a e b na fórmula da equação de regressão:

y = a + b ⋅ x y = 5.503 + 6.734 ⋅ x

Passo 3

Determine o coeficiente de correlação linear r:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 34.3 , ∑ Y = 286.01 , ∑ X ⋅ Y = 1202.8182 , ∑ X 2 = 150.586 , ∑ Y 2 = 9842.4307

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

r = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 ⋅ n ∑ Y 2 - ∑ Y 2

r = 10 ⋅ 1202.8182 - 34.3 ⋅ 286.01 10 ⋅ 150.586 - 34.3 2 ⋅ 10 ⋅ 9842.4307 - 286.01 2 ≈ 0.9479

Passo 4

H 0 : ρ = 0 N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r

H 1 : ρ ≠ 0  (Há correlação linear)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9479 - 0 1 - 0.9479 2 10 - 2 ≈ 8.416

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 10 - 2 = 8 :

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.

Passo 5

Letra b:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 34.3 , ∑ Y = 286.01 , ∑ X ⋅ Y = 1202.8182 , ∑ X 2 = 150.586 , ∑ Y 2 = 9842.4307

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

r = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 ⋅ n ∑ Y 2 - ∑ Y 2

r = 10 ⋅ 1202.8182 - 34.3 ⋅ 286.01 10 ⋅ 150.586 - 34.3 2 ⋅ 10 ⋅ 9842.4307 - 286.01 2 ≈ 0.9479

Passo 6

Letra c:

H 0 : ρ = 0 N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r

H 1 : ρ ≠ 0  (Há correlação linear)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9479 - 0 1 - 0.9479 2 10 - 2 ≈ 8.416

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 10 - 2 = 8

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.

Passo 7

Letra d:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

  z α 2 = 1.96

Os limites do intervalo de confiança para o coeficiente de correlação são então:

  t a n h    arctanh  r - z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.9479 - 1.96 10 - 3 ≈ 0.7894   t a n h    arctanh  + z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.9479 + 1.96 10 - 3 ≈ 0.9051

Resposta

  1. y ^ = 5.503 + 6.734 , P < 0.001 . Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.
  2. r = 0.9479
  3. Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.
  4. 0.7894 ≤ ρ ≤ 0.9879
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