Enunciado

11-72. A cstimativa absoluta mensal ds indiees globais (terra c mar

combinados) da temperatura i'C) em 2000 e 2001 são (fonte: http://

www.ncdc.noaa.gov/oa/climate/research/monitoring.html)

a) Faça um gráfico c ajuste uma linha de regressão para prever as tem-

peraturas de 2001 a partir daquelas de 2000. Ilá uma regressão sig-

nificativa para a = 0,05? Qual é o valor P?

b) Estime o coefieiente de correlaçào.

c)Tesle a hipútese de que p - 0,9 contra a alternativa p -0.9 usando

a-0.05.Qual é o valor P?

d) Caleule um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente de

correlação.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Dados:

n = 12

Letra a:

2000 está no eixo horizontal e 2001 está no eixo vertical.

Passo 2

Determine a equação de regressão de mínimos quadrados:

Primeiro, vamos encontrar X ⋅ Y  e  X 2 , como foi feito na tabela abaixo:

Encontre a soma de cada coluna:

∑ X = 170.57 , ∑ Y = 172.32 , ∑ X ⋅ Y = 2472.2443 , ∑ X 2 = 2447.1147

Use as seguintes equações para encontrar a e b:

a = ∑ Y ⋅ ∑ X 2 - ∑ X ⋅ ∑ X Y n ⋅ ∑ X 2 - ∑ X 2 = 172.32 ⋅ 2447.1147 - 170.57 ⋅ 2472.2443 12 ⋅ 2447.1147 - 170.57 2 ≈ - 0.014 b = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ⋅ ∑ X 2 - ∑ X 2 = 12 ⋅ 2472.2443 - 170.57 ⋅ 172.32 12 ⋅ 2447.1147 - ( 170.57 ) 2 ≈ 1.011

Substitua a e b na equação da fórmula de regressão

y = a + b ⋅ x y = - 0.014 + 1.011 ⋅ x

Passo 3

Determine o coeficiente de correlação linear r:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 170.57 , ∑ Y = 172.32 , ∑ X ⋅ Y = 2472.2443 , ∑ X 2 = 2447.1147 , ∑ Y 2 = 2497.7538

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

r = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 ⋅ n ∑ Y 2 - ∑ Y 2

r = 12 ⋅ 2472.2443 - 170.57 ⋅ 172.32 12 ⋅ 2447.1147 - 170.57 2 ⋅ 12 ⋅ 2497.7538 - 172.32 2 ≈ 0.9974

Passo 4

H 0 : ρ = 0 N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r

H 1 : ρ ≠ 0  (Há correlação linear)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9974 - 0 1 - 0.9974 2 12 - 2 ≈ 43.767

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 12 - 2 = 10 :

P < 2 × 0.0005 = 0.001

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.

Passo 5

Letra b:

Encontre X ⋅ Y ,   X 2  and  Y 2 como foi feito na tabela abaixo.

Agora, encontre a soma de cada coluna para obter:

∑ X = 170.57 , ∑ Y = 172.32 , ∑ X ⋅ Y = 2472.2443 , ∑ X 2 = 2447.1147 , ∑ Y 2 = 2497.7538

E então, use a fórmula a seguir para obter o coeficiente de correlação

r = n ⋅ ∑ X Y - ∑ X ⋅ ∑ Y n ∑ X 2 - ∑ X 2 ⋅ n ∑ Y 2 - ∑ Y 2

r = 12 ⋅ 2472.2443 - 170.57 ⋅ 172.32 12 ⋅ 2447.1147 - 170.57 2 ⋅ 12 ⋅ 2497.7538 - 172.32 2 ≈ 0.9974

Passo 6

Letra c:

H 0 : ρ = 0 N ã o   h á   c o r r e l a ç ã o   l i n e a r

H 1 : ρ ≠ 0  (Há correlação linear)

O valor da estatística de teste é:

t = r - ρ 0 1 - r 2 n - 2 = 0.9974 - 0.9 1 - 0.9974 2 12 - 2 ≈ 4.274

Determine a probabilidade correspondente (valor P) usando a tabela V com d f = n - 2 = 12 - 2 = 10 :

0.001 = 2 × 0.0005 < P < 2 × 0.001 = 0.002

Se o valor P for menor que o nível de significância, vamos rejeitar a hipótese nula:

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear.

Passo 7

Letra d:

Para o nível de confiança 1 - α = 0.95 , determine z α / 2 = z 0.025 usando a tabela III (procure 0.025 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

  z α 2 = 1.96

Os limites do intervalo de confiança para o coeficiente de correlação são então:

  t a n h    arctanh  r - z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.9974 - 1.96 12 - 3 ≈ 0.9904   t a n h    arctanh  r + z α 2 n - 3 = t a n h ⁡ arctanh ⁡ 0.9974 + 1.96 12 - 3 ≈ 0.9993

Resposta

  1. y ^ = - 0.014 + 1.011 x , P < 0.001 . Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear e existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que a regressão é significativa.
  2. r = 0.9974
  3. Existem evidências suficientes para apoiar a alegação de que existe uma correlação linear.
  4. 0.9904 ≤ ρ ≤ 0.9993
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