Enunciado

11-93. Considere o modelo de regressão linear simples

estando os erros e não correlacionados.

a) Mostre que E σ ^ 2 = E M Q 2 = σ 2

b)Mostre que E M Q R = σ 2 + β i 2 S α

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Suponha que um modelo de regressão linear simples Y = β 0 + β 1 x + ϵ é dado, onde os erros não estão correlacionados com média zero e variância constante σ 2

Letra a:

O estimador imparcial da variância σ 2 é dado por

σ ^ = S S E n - 2 = M S E

Prove a afirmação. Suponha que a variância σ 2 é desconhecida e que precisa ser estimada. Anteriormente, a estimativa da variação foi

1 n - 1 ∑ i = 1 n   Y i - Y - 2

A estimativa da expectativa E Y i   não é a mesma. Isso implica que Y ^ i   deve ser usado para estimar σ 2   como

∑ i = 1 n   Y i - Y ^ i 2 = S S E

Passo 2

Na realidade, aquele dado no início é o estimador imparcial. Ao dividir o S S E   com n menos o número de parâmetros no modelo, obtém-se o estimador imparcial. Pode ser comprovado da seguinte forma

E S S E = E ∑ i = 1 n   Y i - Y ^ i 2 = E ∑ i = 1 n   Y i - β ^ 0 - β ^ 1 x i 2 = E ∑ i = 1 n   Y i - Y - + β ^ 1 x - - β ^ 1 x i 2 = E ∑ i = 1 n   Y i - Y - - β ^ 1 x i - x - = E ∑ i = 1 n   Y i - Y - 2 - 2 β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i - x - Y i - Y - + β ^ 1 2 x i - x - 2 = 1 E ∑ i = 1 n   Y i 2 - n Y - 2 - β ^ 1 2 S x x = ∑ i = 1 n   E Y i 2 - n E Y - 2 - S x x E β ^ 1 2 = 2 ∑ i = 1 n   V Y i + E Y i 2 - n V ( Y - ) + [ E ( Y - ) ] 2 - S x x V β ^ 1 + E β ^ 1 2 = 3 n σ 2 + ∑ i = 1 n   β 0 + β 1 x i 2 - n σ 2 n + β 0 + β 1 x - 2 - S x x σ 2 S x x + β 1 2 = ( 4 ) ( n - 2 ) σ 2

Isso implica que o estimador imparcial de σ 2   pode ser calculado a partir da expressão E S S E = n - 2 σ 2 ,   definindo M S E = S S E n - 2 como um estimador imparcial, que foi visto. A seguir está a explicação para (1), (2), (3) e (4).

Passo 3

(1): vem dos dois fatos a seguir. Primeiro:

∑ i = 1 n   x i - x - Y i - Y - = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 β ^ 1

E segundo:

- 2 β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i - x - Y i - Y - + β ^ 1 2 x i - x - 2 = - β ^ 1 2 ∑ i = 1 n   x i - x - 2

(2): isto decorre de um simples fato de uma propriedade de variância que qualquer variável aleatória X dada por

E X 2 = V ( X ) + [ E ( X ) ] 2

(3): Prove primeiro que β ^ 1   é um estimador imparcial de β 1 . O seguinte é válido

E β ^ 1 = E ∑ i = 1 n   x i - x - Y i S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - E Y i S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - β 0 + β 1 x i S x x = β 0 ∑ i = 1 n   x i - x - S x x + β 1 ∑ i = 1 n   x i - x - x i S x x = 0 + β 1 S x x S x x = β 1

onde o mesmo fato acima,

∑ i = 1 n   x i - x - = n x - - n x - = 0

foi usado e o fato de que

S x x = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 = ∑ i = 1 n   x i - x - x i

Isso era para ser visto. Em segundo lugar, encontre a variância do estimador β ^ 1 . Para fazer isso, o fato de que as variáveis ​​aleatórias Y i , i = 1,2 , … , n   são independentes devem ser usados ​​da seguinte forma

V β ^ 1 = V ∑ i = 1 n   x i - x - Y i S x x = 1 S x x 2 ∑ i = 1 n   V x i - x - Y i = 1 S x x 2 ∑ i = 1 n   x i - x - V Y i = 1 S x x 2 S x x σ 2 = σ 2 S x x

dado que  V Y 1 = V Y 2 = … = V Y n = σ 2

Passo 4

O valor esperado e a variação de Y -   que devem ser calculados vêm do fato de que

Y i = β 0 + β 1 x i + ϵ i

Do seguinte modo:

E ( Y - ) = E 1 n ∑ i = 1 n   Y i = E β 0 + β 1 x - + ϵ - = β 0 + β 1 x - + E ( ϵ - ) = β 0 + β 1 x - + 0 = β 0 + β 1 x -

E

V Y - = V 1 n ∑ i = 1 n   Y i = V β 0 + β 1 x - + ϵ -

= V ( ϵ - ) = 1 n 2 ⋅ n V ϵ 1 = σ 2 n

Passo 5

(4): Simplifique a equação para obter ( n - 2 ) σ 2

Letra b:

Usando que M S R é definido por S S R / 1 onde

S S R = ∑ i = 1 n   Y ^ i - Y - 2

Como em (a), pode ser visto que

Y ^ = β ^ 0 + β ^ 1 x i = Y - + β ^ 1 x i - x -

Ou, da mesma maneira

Y ^ - Y - = β ^ 1 x i - x -

Isso implica que, ao elevar ao quadrado e somar, o M S R torna-se:

S S R = ∑ i = 1 n   ( Y ^ - Y - ) 2 = β ^ 1 2 ∑ i = 1 n   x i - x - = β ^ 1 2 S x x

De (3), a variação e a quantidade esperada de β ^ 1 são conhecidas, então o valor esperado de S S R , é

E S S R = S x x E β ^ 1 2 = S x x σ 2 S x x - β 1 2 = σ 2 + β 1 2 S x x

Pois, nesse caso M S R = S S R

Resposta

  1. Use variações e valores esperados de Y -   e β ^ 1 .
  2. E U 2 = V ( U ) + [ E ( U ) ] 2  para qualquer variável aleatória  U .  Use em  β ^ 1
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