Enunciado

11-96. Minimos Quadrados Ponderados. Suponha que estejamos

ajustando a linha a variância porém. de Y depen-

de do nível de x; ou seja.

V Y i ∣ x i = σ i 2 = σ 2 w i i = 1,2 , … , n

sendo as constantes w,. freqüentemente chamadas de pesos. Mostre

que para uma função objetivo em que cada resíduo ao quadrado é

multiplicado pela recíproca da variância da observação correspon-

dente, as equações normais resultantes dos mínimos quadrados pon-

derados são

β ^ 0 ∑ i = 1 n   w i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   w i x i = ∑ i = 1 n   w i y i β ^ 0 ∑ i = 1 n   w i x i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   w i x i 2 = ∑ i = 1 n   w i x i y i

Encontre a solucão para essas equações normais. As soluções são

ponderadas por estimadores mínimos quadrados de

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Suponha que um modelo de regressão linear simples Y = β 0 + β 1 x + ϵ i   é dado, onde os erros não estão correlacionados com média zero e variância dependendo do nível de x como

V Y i ∣ x i = σ i = σ 2 w i , i = 1,2 , … , n

onde w i são os pesos, valores constantes.

Para mostrar o necessário, deve-se começar multiplicando a soma dos erros quadrados pelo recíproco da variância da observação correspondente. Em seguida, encontre as derivadas em relação aos parâmetros desconhecidos e obtenha as equações normais de mínimos quadrados ponderados. O seguinte é verdade

S S E = ∑ i = 1 n   σ i Y i - Y ^ i 2 = ∑ i = 1 n   w i σ 2 Y i - β 0 - β 1 x i 2

Agora, as derivadas parciais podem ser tomadas em relação a β 0  e  β 1

∂ S S E ∂ β 0 β ^ 0 , β ^ 1 = - 2 σ 2 ∑ i = 1 n   w i Y i - β ^ 0 - β ^ 1 x i ∂ S S E ∂ β 1 β ^ 0 , β ^ 1 = - 2 σ 2 ∑ i = 1 n   w i x i Y i - β ^ 0 - β ^ 1 x i

Passo 2

Resolvendo o sistema de equações

- 2 σ 2 ∑ i = 1 n   w i Y i - β ^ 0 - β ^ 1 x i = 0 - 2 σ 2 ∑ i = 1 n   w i x i Y i - β ^ 0 - β ^ 1 x i = 0

Simplificando essas equações, as equações normais de mínimos quadrados ponderados são

β ^ 0 ∑ i = 1 n   w i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   w i x i = ∑ i = 1 n   w i y i β ^ 0 ∑ i = 1 n   w i x i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   w i x i 2 = ∑ i = 1 n   w i x i y i

Resolvendo este sistema de equações, o estimador de β ^ 0  e  β ^ 1   pode ser obtido. Ao dividir a primeira equação por ∑ i = 1 n   w i   , o estimador de   β ^ 0 é

β ^ 0 = ∑ i = 1 n   w i y i ∑ i = 1 n   w i - β ^ 1 ∑ i = 1 n   w i x i ∑ i = 1 n   w i = y - w - β ^ 1 x - w

onde y - w  e  x - w   são as médias ponderadas de y e x.

Passo 3

Para encontrar o estimador do parâmetro desconhecido β 1 , substitua β ^ 0   na segunda equação. Então, o seguinte é verdadeiro

y - w - β ^ 1 x - w ∑ i = 1 n   w i x i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   w i x i 2 = ∑ i = 1 n   w i x i y i

ou igualmente, resolvendo para β ^ 1

β ^ 1 = ∑ i = 1 n   w i x i y i - y - w ∑ i = 1 n   w i x i ∑ i = 1 n   w i x i 2 - x - w ∑ i = 1 n   w i x i = ∑ i = 1 n   w i x i y i - y - w ∑ i = 1 n   w i x i x i - x - w = ∑ i = 1 n   w i x i - x - w y i - y - w ∑ i = 1 n   w i x i - x - w 2

Pois

x - w ∑ i = 1 n   w i y i - y - w = x - w ∑ i = 1 n   w i x i - x - w = 0

Portanto, os estimadores são:

β ^ 0 = y - w - β ^ 1 x - w β ^ 1 = ∑ i = 1 n   w i x i - x - w y i - y - w ∑ i = 1 n   w i x i - x - w 2

Resposta

β ^ 0 = y - w - β ^ 1 x - w β ^ 1 = ∑ i = 1 n   w i x i - x - w y i - y - w ∑ i = 1 n   w i x i - x - w 2

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