Enunciado

4-139. Suponha que X tenha uma distribuição lognormal e que a média e a variância de X sejam 50 e 4000, respectivamente. Determine o seguinte:

  1. Os parâmetros θ   e   ω 2 da distribuição lognormal.
  2. A probabilidade de X ser menor do que 150.

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ e ω . Lembre-se das fórmulas para a média e variância da distribuição lognormal:

μ = E ( X ) = e θ + ω 2 2

σ 2 = V a r ( X ) = e 2 θ + ω 2 ( e ω 2 - 1 )

A média e a variância são fornecidas da seguinte forma:

μ = 50

σ 2 = 4000

Vamos alterar as variáveis usando:

x = e θ

y = e ω 2

para obter:

μ = x y

σ 2 = x 2 y ( y - 1 )

Passo 2

Então, eleve ao quadrado a primeira equação e substitua na segunda para calcular y:

e ω 2 = y = σ 2 μ 2 + 1 = 2.6

que você pode resolver para ω :

ω = 0.9775

Agora, simplesmente determine θ da seguinte maneira:

x = μ y = 50 2.6 = 31

θ = l n 39.22 = 3.43

Passo 3

Letra b:

Finalmente, calcule usando a fórmula para a função de distribuição cumulativa de distribuição log-normal e as tabelas na parte de trás do livro:

P ( X < 150 ) = Φ ( l n 150 - 3.43 0.9775 ) = Φ ( 1.617 ) = 0.947

Resposta

  1. 3.43 e 0.96
  2. 0.947
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