Enunciado

A porcentagem de pessoas expostas à bactéria que ficam doentes é 20%. Considere que pessoas são independentes. Considere que 1000 pessoas são expostas à bactéria. Aproxime cada uma das seguintes questões:

  1. A probabilidade de mais de 225 pessoas ficarem doentes.
  2. A probabilidade de entre 175 e 225 pessoas ficarem doentes.
  3. O valor tal que exista uma probabilidade de 0,01 de que o número de pessoas se tornarem doentes exceda esse valor.

Passo 1

Seja X a variável aleatória binomial com os parâmetros:

n = 1000

p = 0.2

Então a variável aleatória Z definida como:

Z = X - n p n p ( 1 - p ) = X - 200 160

é aproximadamente uma variável aleatória normal com a distribuição cumulativa Φ listada nas tabelas no final do livro.

Passo 2

Letra a:

P ( X > 225 ) = 1 - P ( X ≤ 225 ) = 1 - P ( X ≤ 225.5 ) ≈ 1 - P ( Z ≤ 2.02 ) = 1 - Φ ( 2.02 ) ≈ 0.02

Passo 3

Letra b:

P ( 175 ≤ X ≤ 225 ) = P ( 174.5 ≤ X ≤ 225.5 )   ≈   2 Φ ( 2.02 ) - 1 = 0.9566

Passo 4

Letra c:

Vamos escrever a equação:

0.01 = P ( X > x ) = P ( X ≥ x + 0.5 ) ≈ P ( Z ≥ x + 0.5 - 200 160 ) = 1 - Φ ( x + 0.5 - 200 160 )

que podemos simplificar para:

0.99 = Φ ( x - 199.5 160 )

Usando tabelas identifique:

2.33 = x - 199.5 160

e vamos resolver para obter x:

x = 228.9724

Resposta

  1. 0.02
  2. 0.9566
  3. 228.9724
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