Enunciado

4-140. Fibras de asbestos, em uma amostra de poeira, são identificadas por meio de um microscópio eletrônico depois da preparação da amostra. Suponha que o número de fibras seja uma variável aleatória de Poisson e que o número médio de fibras por centímetro quadrado de poeira na superfície seja 100. Uma amostra de 800 centímetros quadrados de poeira é analisada. Considere que uma determinada célula de amostragem sob o microscópio represente 1/160000 da amostra.

  1. Qual é a probabilidade de no mínimo uma fibra ser visível na célula de amostragem?
  2. qual é a média Do número de células de amostragem que necessitam ser visualizadas para observar 10 contendo fibras?
  3. Qual é o Desvio padrão do número de células de amostragem que necessitam ser visualizadas para se observar 10 que contenham fibras?

Passo 1

Vamos denotar com Y a variável aleatória de Poisson com o parâmetro τ = 100 fibras por centímetro quadrado, com a quantidade de T centímetros restantes para escolhermos como quisermos. Portanto, a função de distribuição de probabilidade de Y é dado como:

f Y ( y ) = ( τ T ) y e - τ T y ! ,   y ∈ ℵ 0

Estamos prontos para resolver a letra a então

Passo 2

Letra a:

Vamos definir T = 800 160000 = 1 200 centímetros quadrados e calcule:

P ( Y ≥ 1 ) = 1 - P ( Y = 0 ) = 1 - e - 100 / 200 = 0.3935

Passo 3

Letra b:

Assim, calculamos a probabilidade de que uma célula da amostra contenha pelo menos uma fibra. Agora lembre-se de que o número de células da amostra até 10 células contendo fibras encontrado é uma variável aleatória binomial negativa (não se esqueça sobre distribuições discretas!) com os parâmetros:

r = 10

p = 0.3935

portanto, calculamos facilmente a média e a variância recordando as fórmulas. Vamos denotar esta variável aleatória binomial negativa com a letra X e calcular:

A média na letra b:

E ( X ) = 10 0.3935 = 25.41

Passo 4

E a variância na letra c:

D P ( X ) = 10 × ( 1 - 0.3935 ) 0.393 5 2 = 6.2585

Resposta

  1. 0.3935
  2. 25.41
  3. 6.2585
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