Enunciado

9-123. Um artigo na revista Joernal of Electromic Material (Progress

in CdZnTe Stubstrate Producibility and Criticul Drive of IRFPA Yield

Originating with Cd7nTe Substrates-

Substrato CdZn Te e Drive Critico de IRFPA Rendimento, Proveniente

de Substratos CdZnTe. 1998, Vol. 27, N° 6, p 564-572) melhorou a

qualidade de substratos CdZnTe usados para produzir arranjos planos

focais de infravermelho HgCUTe (IRFPAS), também definido como

arranjos de chips de sensores (SCAN. O comprimento (um) de onda cut-

on de 11 pastilhas tor medido e mostrado a seguir:

Progresso na Produção do

6.06 6.16 6.57 6.67 6.98 6.17 6.17 6.93 6.73 6.87 6.76

(a) Há evidéncia de que o comprimento médio de onda cut-on não seja

6,50 um?

(b) Qual é o valor P para esse teste?

(c) Que tamanho de amostra seria requerido para detectar um comprimento

médio verdadeiro cut-on de t6.25 um. com probabilidade de 95?

(d) Qual scrá a probabilidade do erro tipo II, se o comprimento médio

verdadeiro ct-on for 6,95 um?

Passo 1

E aiiii galera, vamos resolver essa questão aqui rapidinho?

Uma amostra aleatória de n = 11 de chips é selecionada e a média da amostra é

x - = 1 11 ∑ i = 1 11   x i = 6.55

e o desvio padrão da amostra é:

s = ∑ i = 1 n   x i - x - 2 n - 1 1 2 = ∑ i = 1 11   x i - 6.55 2 10 1 2 = 0.35

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 6.5

Contra

H 1 : μ ≠ 6.5

usando α = 0.05

A estatística de teste é:

t 0 = x - - μ σ n = 6.55 - 6.5 0.35 10 = 0.47

Agora:

α = 0.05 ⇒ t a 2 , n - 1 = t 0.025,10 = 2.228

Critério de rejeição para testes de nível fixo: Se   - t a 2 , n - 1 ≤ t 0 ≤ t a 2 , n - 1 então não devemos rejeitar H 0 . Portanto

0.47 = t 0 < t a 2 , n - 1 = 2.228

e a hipótese H 0 : μ = 11.5 é verdadeira.

Passo 3

Letra b:

O valor P para este teste

Valor P  = 2 P T 10 > t 0 = 2 P T 10 > 0.47

Agora, no Apêndice IV, obtemos

P T 10 > 0.7 < P T 10 > 0.47 < P T 10 > 0.26 0.25 < P T 10 > 0.47 < 0.4

Portanto, valor P é

0.5 < V a l o r   P   < 0.8

Passo 4

Letra c:

Quando o valor verdadeiro da média é μ = μ 0 + δ a distribuição para T 0 é chamada de distribuição t não central com n - 1 graus de liberdade e parâmetro de não centralidade δ n / σ . O erro tipo II da alternativa bilateral seria

β = P - t n - 1 , a 2 ≤ T 0 ≤ t n - 1 , α 2 ∣ δ ≠ 0 = P - t n - 1 , a 2 ≤ T 0 ' ≤ t n - 1 , a 2                           ( 1 )

onde T 0 ' denota a variável aleatória não central t, ou seja,

T 0 ' = X - - μ 0 + δ S / n

Encontrar a probabilidade β de erro tipo I I para a maioria envolve encontrar a probabilidade contida entre dois pontos da distribuição t não central. Este problema já foi resolvido, e os resultados são resumidos em uma série de curvas O.C. nos gráficos do apêndice VIIe, VIIf, VIIg e VIIh. As curvas são fornecidas para alternativas de dois lados nos gráficos VIIe e VIIf. Nesses gráficos, o fator d é definido como

d = μ - μ 0 σ = | δ | σ

Para a alternativa unilateral μ > μ 0 ou μ < μ 0 . Usamos os gráficos VIIg e VIIh.

Vemos que d depende do parâmetro desconhecido σ 2 . Podemos evitar essa dificuldade de várias maneiras. Em alguns casos, poderíamos usar a variância da amostra s 2 para estimar σ 2 .

Queremos que a potência do teste fosse pelo menos 1 - β = 0.95 e a média da amostra verdadeira μ = 6.25 , então d = | 6.5 - 6.35 ] / 0.35 = 0.72 (ver próxima figura, linha vermelha). Então, vemos que o tamanho da amostra é

n ≥ 30

Passo 5

Letra d:

Sabemos que a verdadeira média é 11.4. Então

| δ | = | 6.95 - 6.5 | = 1.297 ⇒ d = 1.297 0.35 = 1.3

Referindo-nos às curvas características de operação no Apêndice Gráfico VIIe (para α = 0.05 ) com d = 1.3   e n = 10 , encontramos que β = 0.1 , aproximadamente (veja a figura anterior, linha azul).

Então, a potência do teste é

1 - β ≈ 0.9

Resposta

  1. Falhamos em rejeitar H 0 , porque 0.47 = t 0 < t a 2 , n - 1 = 2.228
  2. 0.5 < v a l o r   P < 0.8
  3. O tamanho da amostra é n ≥ 30
  4. P o t ê n c i a = 1 - β = 0.9
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