Enunciado

9-40.Um engenheiro,quc esta estudando a resistencia a tensao de uma

liga de aco para uso em eixos de taco de golfe.sabe que a resistenciai

tensao e aproximadamente distribuida normalmente.com o=60 psi.

Uma amostra aleatoria de 12 especimes tom uma resistencia media a

tensao de x=3450psi.

(a) Teste a hipotese de que a resistencia media3500 psi.Use a-0.01.

(b)Qual eo menor nivel de significancia em que voce estaria disposto

a rejeitar a hipotese nula?

(c)Qual sera o crro B para o teste do item(a),se a media verdadeira for

3470?

(d)Suponha que quisessemos rejeitar a hipotese nula com uma proba-

bilidade de no minimo 0.8 para uma resistencia media p=3500.

Que tamanho de amostra deveria ser usado?

(e)Explique como voce poderia responder a questao no itemia)comumn

intervalo bilateral de conlianca para a resistencia media a tensao.

Passo 1

E aí galera, vamo lá

Uma amostra aleatória de n = 12 amostras tem uma resistência média à tração de x _ = 3450   p s i e desvio padrão σ = 60 .

Passo 2

Letra a:

Precisamos testar

H 0 : μ = 3500

contra

H 1 : μ ≠ 3500

usando α = 0.01

O teste de estatística

z 0 = x - - μ σ n = 3450 - 3500 60 12 = - 2.89

Agora é

α = 0.01 ⇒ z α 2 = z 0.01 2 = 2.58

Se - z α ≤ z 0 ≤ z α   então devemos falhar em rejeitar H 0 . Portanto,

- 2.89 = z 0 < z α = - 2.58

E a hipótese H 0 : μ = 3500 não é verdadeira.

Passo 3

Letra b:

O valor P para este teste é

  P - v a l u e   = 2 1 - Φ z 0 = 2 [ 1 - Φ ( 2.89 ) ] = 2 [ 1 - 0.998074 ] = 0.003852

onde Φ ( z ) denota a probabilidade à esquerda de z na distribuição normal padrão. O menor nível de significância no qual você estaria disposto a rejeitar a hipótese nula é 0.003852.

Passo 4

Letra c:

A probabilidade de um erro do tipo II para um teste bilateral na média, com variância conhecida é

β = Φ z α 2 - δ n σ - Φ - z α 2 - δ n σ                                 ( 1 )

onde   δ = μ - μ 0 .

Sabe que um valor verdadeiro para a média é μ = 3470 . Então

δ = 4470 - 3500 = - 30

Portanto, da Equação (1) e Tabela III do Apêndice, obtemos

β = Φ 2.58 - - 30 12 60 - Φ - 2.58 - - 30 12 60 = Φ ( 4.31 ) - Φ ( - 0.85 )

Então, o erro β é

β = 1 - 0.197662 = 0.802338

Passo 5

Letra d:

Tamanho da amostra para um teste bilateral na média, a variância conhecida é

n = z α + z β 2 σ 2 δ 2

Onde, δ = μ - μ 0

Uma média verdadeira é μ = 3470 , então δ =   - 30 . Queremos 1 - β = 0.8 . Portanto, z β = z 0.2 = 0.84 e

n = ( 2.58 + 0.84 ) 2 60 2 ( - 30 ) 2 = 46.78

Então, um tamanho de amostra é

n ≈ 47

Passo 6

Letra e:

Um intervalo de confiança de dois lados de 100 ( 1 - α ) % na média é:

x - - z α 2 σ n ≤ μ ≤ x - + z α 2 σ n

Portanto, um IC 95% na média é

3450 - 2.58 60 12 ≤ μ ≤ 3450 + 2.58 60 12 3405.31 ≤ μ ≤ 3494.67

Assim, 3500 não está no intervalo [3405.31, 3494.67], concluímos que μ = 3500 não é verdade.

Resposta

  1. - 2.89 = z 0 < z α = - 2.58 ,  então rejeitamos  H 0
  2. Valor p  = 0.003852  .
  3. β = 0.802338
  4. n ≈ 47
  5. 3405.31 ≤ μ ≤ 3494.67
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Com o auxílio da tabela t - s t u d e n t calcule:(c) P - 1,1 ≤ t 142,15
Com o auxílio da tabela t - s t u d e n t calcule:O valor de a tal que P t 9a = 0,02
Com o auxílio da tabela t - s t u d e n t calcule:O valor de b tal que P t 16 ≤ b = 0,05
Com o auxílio da tabela t - s t u d e n t calcule:(f) O valor de c tal que P t 11 ≤ c = 0,10
Com o auxílio da tabela t - s t u d e n t calcule:(g) O valor de d tal que P t 2 1d = 0 , 05