Enunciado

Numa amostra de 250 elementos verificam-se 24 sucessos e noutra de 100 elementos verificaram-se 15 sucessos. Podemos supor idênticas as probabilidades de sucesso nas duas populações, ao nível de 5%?

Passo 1

Olá galerinha, vamos resolver este exercício de acordo com o passo a passo dos testes de hipóteses.

Então primeiramente iremos definir nossa hipótese nula ( H 0 ) e alternativa ( H a ):

  • H 0 :   p 1 = p 2 ;
  • H a :   p 1 ≠ p 2 .

Queremos testar essa hipótese para α = 0,05 . Além disso sabemos que nosso teste é bilateral e como queremos testar a proporção iremos utilizar a variável normal padronizada ( z ):

Para este teste temos a seguinte equação:

z = f 1 - f 2 p ' ∙ ( 1 - p ' ) ∙ 1 n 1 + 1 n 2

Onde p ' é a média ponderada das proporções amostrais:

p ' = n 1 ∙ f 1 + n 2 ∙ f 2 n 1 + n 2

Passo 2

Então pela tabela da distribuição normal conseguimos definir a nossa região crítica:

z c = 1,96

  • Se - 1,96 < z < 1,96 aceita H 0 ;
  • Se z > 1,96 rejeita H 0 .

Passo 3

Do enunciado temos:

  • n 1 = 250 ;
  • x 1 = 24 ;
  • n 2 = 100 ;
  • x 2 = 15 .

Então temos as seguintes proporções amostrais ( f 1 e f 2 ):

f 1 = 24 250 = 0,096

f 2 = 15 100 = 0,15

E a média ponderada dessas proporções:

p ' = 250 ∙ 0,096 + 100 ∙ 0,15 250 + 100 = 0,111

Então conseguimos calcular o valor de z para compararmos com o z crítico ( z c ):

z = f 1 - f 2 p ' ∙ ( 1 - p ' ) ∙ 1 n 1 + 1 n 2

z = 0,096 - 0,15 0,111 ∙ ( 1 - 0,111 ) ∙ 1 250 + 1 100 = - 1,45

Como - 1,96 < z < 1,96 , então aceitamos H 0 e concluímos que podemos supor as probabilidades de sucesso idênticas das duas populações.

Tchau pessoal, até mais!

Resposta

z = - 1,45 aceita H 0 .

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