Enunciado

Amostras sem reposição de populações finitas. Suponha uma população com N elementos. Vimos que se extrairmos uma amostra de tamanho n , com reposição, e calcularmos a média amostral X - , então E X - = μ   e   V a r X =   σ 2   / n , onde μ   e   σ 2 são a média e a variância da população, respectivamente. No entanto, se a amostragem for feita sem reposição, então E X - = μ continua a valer, mas?

O fator ( N   –   n ) / ( N   –   1 ) é chamado fator de correção para populações finitas. Note que se n for muito menor que   N , então esse fator é aproximadamente igual a um, e amostras com ou sem reposição são praticamente equivalentes.

Considere, agora, uma população P   =   1 ,   3 ,   5 ,   5 ,   7 , logo N   =   5 . Retire amostras de tamanho n = 2 , sem reposição, e construa a distribuição amostral de   X - = ( X 1 + X 2 ) / 2 . Obtenha E ( X - )   e   V a r ( X - ) e verifique que esta é dada pela fórmula acima.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é determinar o espaço amostral, estamos realizando um experimento SEM reposição, portanto temos:

Ω = { 1,3 ; 1,5 ; 1 , 5 ; 1,7 ; 3,1 ; 3,5 ; 3 , 5 ; 3,7 ; 5,1 ; 5,3 ;

5 , 5 ; 5,7 ; 5 , 1 ; 5 , 3 ; 5 , 5 ; 5 , 7 ; 7,1 ; 7,3 ; 7,5 ; 7 , 5 }

Com esses valores, devemos construir a distribuição amostral de X - .

Vamos lá?

Passo 2

X - é a média aritmética para cada parzinho de valores do espaço amostral, aqui vamos fazer só alguns exemplos, beleza?

X - 1 = X 1 + X 2 2 = 1 + 3 2 = 2

X - 2 = X 1 + X 2 n = 1 + 5 2 = 3

X - 3 = X 1 + X 2 n = 1 + 5 2 = 3

E por aí vai...

Construindo a distribuição amostral de X - , temos

Passo 3

Estamos quase terminando, só falta calcularmos E X ,   V a r X , E X - , V a r ( X - ) e verificar que V a r ( X - ) é dada pela fórmula no enunciado.

Assumindo os valores X 1 ,   … ,   X n com as suas respectivas probabilidades p 1 ,   . . . ,   p n .

Temos que a média será

E X = μ = 4,2

E a variância

V a r X = σ 2 = 4,16

Seguindo o mesmo raciocínio, temos que a média e variância de X - serão

E X - = 4,2 = μ ;           V a r X - = 1,56 = σ 2 n N - n N - 1 = 4,16 2 × 5 - 2 5 - 1

Resposta

E X - = 4,2 = μ ;           V a r X - = 1,56 = σ 2 n N - n N - 1 = 4,16 2 × 5 - 2 5 - 1

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