Enunciado

12-10.Um arigo em Cancer Epidemiology.Biomarkers and Prevention

(1996.Vol.5,pp.849-852)conduziu um estudo-piloto para avaliar o

uso de concentracoes de arsenio em unhas do dedo do pe.como um

indicador de ingestao de agua contendo arsenio.Vinte e umn participan-

tes foram entrevistados emrelacio ao uso de seus pocos privados(nao

regulamentados)de agua para beber e cozinhar:eada um forneccu uma

amostra de agua e pedacos de unha do pe.A tabela a seguir mostra os

dados de idade(anos),sexo da pessoa(1=masculino.2=feminino).

proporcao de vezes quc o poco da casa foi usado para agua de beber

(1=1/4.2=1/4.3=1/2.4=3/4.5>3/4).proporcao de vezes que

o poco da casa foi usado para agua de cozinhar(1=1/4.2=1/4.3=

1/2.4=3/4.5=3/4),arsenio(ppm)emaguac arsenio(ppm)nas unhas

dos pes.respeetivamente.

(a)Ajuste um modelo de regressao linear multipla usando a concentra-

cao de arsenio nas unhas como a resposta e idade.uso para beber.

uso para cozinhar e arsenio na agua como os regressores.

(b)Estime oe os erros-padrao dos coeficientes de regressao.

(c)Use o modclo para prever o arsenio nas unhas quando a idade for

30.a categoria da agua para beber for 5.a categoria da agua para

cozinhar for 5e o arsenio na agua for 0.135 ppm.

Passo 1

Letra a:

A matriz X então contém 1's na primeira coluna, os valores x 1 na segunda coluna, os valores Ill na terceira coluna, os valores x 3 na quarta coluna e os valores x 4 na quinta coluna:

X = 1 44 5 5 0.00087 1 45 4 5 0.00021 1 44 5 5 0 … 1 36 5 5 0.0041 0.175

A matriz y contém os valores y:

y = 0.119 0.118 0.099 … 0.175

Os coeficientes da equação de predição de segunda ordem são então encontrados calculando X T X - 1 ( X y )

β ^ = X T X - 1 X ' y = 0.4875 - 0.0008 - 0.0227 - 0.0415 13.2400

A equação de regressão então se torna:

y ^ = 0.4875 - 0.0008 x 1 - 0.0227 x 2 - 0.0415 x 3 + 13.2400 x 4

Passo 2

Letra b:

A soma dos quadrados dos erros é:

S S E = y ' y - y ' X X T X - 1 X T y = [ 0.8912 ]

A estimativa da variância σ 2 é então o erro de quadrados dividido pela diferença do tamanho da amostra e o número de parâmetros (número de colunas de X ' X - 1

σ ^ 2 = S S E n - p = 0.8912 21 - 5 = 0.8912 16 ≈ 0.0557

Passo 3

X T X - 1 = 3.2769 … … … … … 0.0002 … … … … … 0.0404 … … … … … 0.1269 … … … . … … 50.5940

O erro padrão é a raiz quadrada do produto da estimativa da variância σ 2 e o elemento C i i da matriz X ' X - 1 :

S E β ^ 0 = σ ^ 2 C 00 = 0.0557 3.2769 ≈ 0.4272 S E β ^ 1 = σ ^ 2 C 11 = 0.0557 0.0002 ≈ 0.003338 S E β ^ 2 = σ ^ 2 C 22 = 0.0557 0.0404 ≈ 0.04744 S E β ^ 3 = σ ^ 2 C 33 = 0.0557 0.1269 ≈ 0.08407 S E β ^ 4 = σ ^ 2 C 44 = 0.0557 50.5940 ≈ 1.6787

Passo 4

Letra c:

Substitua x 1 na equação de regressão por 30, x 2 por 5, x 3 por 5 e x 4 por 0.135:

y ^ = 0.4875 - 0.0008 ( 30 ) - 0.0227 ( 5 ) - 0.0415 ( 5 ) + 13.2400 ( 0.135 ) = 1.9299

Resposta

  1. y ^ = 0.4875 - 0.0008 x 1 - 0.0227 x 2 - 0.0415 x 3 + 13.2400 x 4
  2. 0.0557,0.4272,0.003338,0.04744,0.08407,1.6787
  3. 1.9299
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