Enunciado

Um arranjo mecânico, usado em um motor de automóvel, contém quatro componentes principais. Os pesos dos componentes são independentes e normalmente distribuídos, com as seguintes médias e desvios padrão:

  1. Qual é a probabilidade do peso de um arranjo exceder 29,5 onças?
  2. Qual é a probabilidade do peso médio de oito arranjos independentes exceder 29 onças?

Passo 1

Temos as seguinte informações:

Componentes X 1 ,   X 2 , X 3 , X 4

Média 4.0 ,   5.5 ,   10.0 ,   8.0

Desvio Padrão 0.4 ,   0.5 ,   0.2 ,   0.5

O peso total de todos os quatro componentes é Y = X 1 + X 2 + X 3 + X 4

A média é:

E ( Y ) = E ( X 1 ) + E ( X 2 ) + E ( X 3 ) + E ( X 4 ) = 27.5

A variância é:

V ( Y ) = V ( X 1 ) + V ( X 2 ) + V ( X 3 ) + V ( X 4 ) = 0.7

Porque X i são todas variáveis ​​aleatórias normais independentes, Y também é uma variável normal aleatória.

Passo 2

Letra a:

Vamos encontrar a probabilidade de que o peso de uma montagem exceda 29.5 onças.

P ( Y > 29.5 ) = P Y - 27.5 0.7 > 29.5 - 27.5 0.7 = 0.00842

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular a probabilidade de que o peso médio de oito componentes independentes excedem 29 onças. Em outras palavras, temos 8 componentes independentes Y 1 , Y 2 , . . . ,   Y 7 ,   Y 8 com média da amostra 27.5 e o desvio padrão de 0.7 8 = 0.296

P ( Y ̄ > 29 ) = P Y ̄ - 27 . . 5 0.7 / 8 > 29 - 27.5 0.7 / 8 = 0.00003

Resposta

  1. 0.00842
  2. 0.00003
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