Enunciado

Assumindo que ϵ i ' 's sảo normais, independentes e com média 0 e variância comum σ 2 , mostre que A , o estimador dos mínimos quadrados de α em μ Y ∣ x = α + β x , é normalmente distribuído com média α e variância

σ A 2 = ∑ i = 1 n     x i 2 n ∑ i = 1 n     x i - x - 2 σ 2 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O estimador A de mínimos quadrados de é α uma combinação linear de variáveis aleatórias normalmente distribuídas e, portanto, também é normal.

E ( A )   = E ( Y ‾ - B x ‾ )   = E ( Y ‾ ) - B E ( x ‾ )   = α + β x ‾ - β x ‾   = α σ A 2 = σ Y ‾ - B x ‾ 2 = σ Y ‾ 2 + x ‾ σ B 2 - 2 x ‾ σ γ ‾ B = σ 2 n + x ‾ 2 σ 2 ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2   σ γ ‾ B = 0

Passo 2

Daqui

σ A 2 = ∑ i = 1 n     x i 2 n ∑ i = 1 n     x i - x ‾ 2

Resposta

Resposta nos passos.

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