Enunciado

Em cada um dos casos a seguir, determine se a função dada é intrinsecamente linear. Se sim, identifique x’ e y’ e, em seguida, explique como um termo de erro aleatório pode ser introduzido para gerar um modelo probabilístico intrinsecamente linear

Passo 1

  1. Tente transformar determinada função em uma função linear. Primeiro, dada função implica que o seguinte fica
  2. 1 y = α + β x ;

    de onde uma transformação para a linearidade vem natural

    y ' = 1 y ;

    x ' = x

    O modelo probabilístico, ao introduzir o erro aleatório ϵ, é

    1 y = α + β x + ϵ

    Passo 2

  3. Da função dada vale o seguinte
  4. 1 y = 1 + e α + β x

    1 y - 1 = e α + β x

    ln ⁡ 1 y - 1 = α + β x ;

    a partir do qual uma transformação para linearidade é

    y ' = ln ⁡ 1 y - 1 ;

    x ' = x

    O modelo probabilístico, ao introduzir o erro aleatório ϵ, é

    ln ⁡ 1 y - 1 = α + β x + ϵ

    O modelo pode ser escrito equivalentemente como

    y = 1 1 + e α + β x ϵ '

    Onde

    ϵ ' = e ϵ

    Passo 3

  5. Uma curva de Gompertz pode ser transformada em linearidade usando transformação
  6. y ' = ln ⁡ ( ln ⁡ ( y ) ) ;

    x ' = x

    A curva é bem conhecida; no entanto, é fácil chegar à transformação mencionada. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados da curva de Gompertz, obtém-se

    ln ⁡ y = e α + β x

    ln ⁡ ln ⁡ y = α + β x

    que obviamente produz a transformação dada acima. O modelo probabilístico, ao introduzir o erro aleatório ϵ, é

    ln ⁡ ln ⁡ y = α + β x + ϵ

    O modelo pode ser escrito equivalentemente como

    y = e e α + β x ∙ ϵ '

    Onde

    ϵ ' = e e ϵ

  7. Parece que a função dada não é intrinsecamente linear. Isso é verdade porque não há como a função ser escrita como

y ' = α + β x '

onde você está y’ e x' transformou os dados originais. Pode-se provar isso, mas não é necessário para o nível de conhecimento que este livro exige.

Resposta

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