Enunciado

Numa chapa são produzidos furos retangulares, cujo comprimento unitário vale em média 200   m m , com desvio padrão de 0,6   m m . Cada furo deve ser fechado por 4 pinos retangulares iguais e por 1 calço em cada ponta. Pretende-se que a folga total no comprimento (diferença entre o comprimento do furo e a soma dos comprimentos dos pinos e dos calços) valha em média 4   m m , com desvio padrão de 0,8   m m . Sabendo-se que cada calço tem um comprimento constante de 10   m m , calcular o comprimento médio unitário dos pinos colocados, bem como o desvio padrão.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Uma das propriedades de parâmetros da variável discreta é quando a média da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das médias destas variáveis. Assim como, a média da diferença de duas variáveis é igual a diferença de suas médias. Então:

μ X ± Y = μ X ± μ Y

Já para a variância, a soma, ou a diferença, de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma de suas variáveis, ou seja:

σ 2 X ± Y = σ 2 X + σ 2 ( Y )

Temos alguns dados do enunciado, para o furo produzido:

  • μ f u r o = 2 00   m m ;
  • σ f u r o = 0,6   m m .
  • Cada furo deve ser fechado por 4 pinos retangulares:

  • n p i n o = 4 .
  • E 1 calço em cada ponta, como temos 2 pontas:

  • n c a l ç o = 2 ;
  • μ c a l ç o = 10   m m .
  • A folga total no comprimento é de:

  • μ f o l g a = 4   m m ;
  • σ f o l g a = 0,8   m m .

Além disso sabemos que a folga é:

f o l g a = f u r o - ( p i n o s ∙ n p i n o + c a l ç o s ∙ n c a l ç o )

Passo 2

Rearranjando a equação da folga

f o l g a = f u r o - p i n o s ∙ n p i n o - c a l ç o s ∙ n c a l ç o

p i n o = f u r o - f o l g a - c a l ç o s ∙ n c a l ç o n p i n o

Então, conseguimos calcular o comprimento médio unitário dos pinos:

μ p i n o = μ f u r o - μ f o l g a - μ c a l ç o ∙ n c a l ç o n p i n o

μ p i n o = 200 - 4 - 10 ∙ 2 4

μ p i n o = 44   m m

Passo 3

Como visto no Passo 1, a variância ( σ 2 ) é a soma das variâncias, mas o enunciado nos deu o desvio padrão, e sabemos que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:

σ = σ 2

Então a variância do furo é:

σ f i t a 2 = ( 0,6   m m ) 2 = 0,36   m m 2

E da folga:

σ A 2 = ( 0,8   m m ) 2 = 0,64   m m 2

Sabemos, que para o cálculo da variância, utilizamos a seguinte equação:

σ 2 X ± Y = σ 2 X + σ 2 ( Y )

Ou seja:

σ f u r o 2 = σ f o l g a 2 + σ p i n o 2 ∙ n p i n o

Então, para descobrirmos a variância do pino:

σ p i n o 2 = σ f o l g a 2 - σ f u r o 2 n p i n o

Sendo assim:

σ p i n o 2 = 0,64 - 0,36 4 = 0,07   m m 2

O desvio padrão será:

σ p i n o = σ 2 = 0,07   m m 2

σ p i n o = 0,26   m m

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

μ p i n o = 44   m m ;

σ p i n o = 0,26   m m .

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