Enunciado

De fitas metálicas, cuja largura média vale 300   m m e desvio padrão 3   m m , são retiradas as rebarbas laterais, de largura constante e igual a 10   m m cada uma, e depois são cortadas: 12 tiras do tipo A, as quais têm uma largura média unitária de 15   m m e desvio padrão 0,8   m m , além de 4 tiras do tipo B, as quais têm uma largura média unitária de 20   m m e desvio padrão 1,2   m m . Supondo que a largura primitiva da fita e das tiras cortadas sejam independentes, calcular a largura média e o desvio padrão dos pedaços de fita que sobram.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente iremos relembrar a teoria.

Uma das propriedades de parâmetros da variável discreta é quando a média da soma de duas variáveis aleatórias é igual à soma das médias destas variáveis. Assim como, a média da diferença de duas variáveis é igual a diferença de suas médias. Então:

μ X ± Y = μ X ± μ Y

Já para a variância, a soma, ou a diferença, de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma de suas variáveis, ou seja:

σ 2 X ± Y = σ 2 X + σ 2 ( Y )

Temos alguns dados do enunciado, a fita metálica total, tem:

  • μ f i t a = 300   m m ;
  • σ f i t a = 3   m m .
  • As rebarbas laterais (dois lados):

  • μ r e b a r b a = 10   m m ;
  • n r e b a r b a = 2 .
  • São cortadas 12 tirar do tipo A:

  • n A = 12 ;
  • μ A = 15   m m ;
  • σ A = 0,8   m m .
  • E 4 tirar do tipo B:

  • n B = 4 ;
  • μ B = 20   m m ;
  • σ B = 1,2   m m .

Passo 2

Então a largura média dos pedaços de fita que sobram será:

μ = μ f i t a - ( μ r e b a r b a ∙ n r e b a r b a + μ A ∙ n A + μ B ∙ n B )

μ = 300 - ( 10 ∙ 2 + 15 ∙ 12 + 4 ∙ 20 )

μ = 20   m m

Passo 3

Como visto no Passo 1, a variância ( σ 2 ) é a soma das variâncias, mas o enunciado nos deu o desvio padrão, e sabemos que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja:

σ = σ 2

Então a variância da fita é:

σ f i t a 2 = ( 3   m m ) 2 = 9   m m 2

Das tiras do tipo A:

σ A 2 = ( 0,8   m m ) 2 = 0,64   m m 2

E as tiras do tipo B:

σ B 2 = ( 1,2   m m ) 2 = 1,44   m m 2

Com esses valores conseguimos calcular a variância das fitas que sobram, então:

σ 2 = σ f i t a s 2 + σ A 2 ∙ n A + σ B 2 ∙ n B = 9 + 0,64 ∙ 12 + 1,44 ∙ 4 = 22,44   m m 2

O desvio padrão será:

σ = σ 2 = 22,44   m m 2

σ = 4,74   m m

Tchau pessoal!

Resposta

μ = 20   m m ;

σ = 4,74   m m .

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