Enunciado

Uma companhia realizar inspeção em carregamento de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes. A política da companhia é usar o tamanho de amostra que seja sempre 10% do tamanho do lote. Comente a eficiência dessa política como uma regra geral para todos os tamanho de lote.

Passo 1

Vamos adotar a seguinte notação:

N - número total de produtos

K - número total de produtos defeituosos

n - tamanho da amostra, dado como n = N 10

e introduza a variável aleatória X para ser o número de produtos defeituosos em uma amostra aleatória de tamanho n. Neste sistema, definimos a seguir:

p = K N , porcentagem real de itens com defeito, isso é o que nós queremos determinar!

P = X n , variável aleatória de porcentagem de produtos defeituosos em uma amostra aleatória

Passo 2

Lembre-se de que a variável aleatória X é uma variável aleatória hipergeométrica com

os parâmetros N, K e n, com as seguintes propriedades conhecidas:

f ( x ) = C K x C N - K n - k C N n

E ( X ) = n K N = n p

V a r ( X ) = n p ( 1 - p ) N - n N - 1

Agora podemos usá-los para calcular a média e a variância de P:

E ( P ) = E ( X ) n = n p n = p

V a r ( P ) = n p ( 1 - p ) N - n N - 1 n 2 = p ( 1 - p ) n N - n N - 1

Passo 3

Vemos que a média da variável aleatória P é exatamente p. Isso é bom, porque isso significa que devemos ser capazes de estimar o parâmetro p medindo a variável aleatória P. Mas, temos que examinar a variação (que depende de N). Se a variação for muito alta, as medições não são tão úteis. Substitua a informação n = N 10 na equação para variância:

V a r ( P ) = p ( 1 - p ) n N - n N - 1 = 10 p ( 1 - p ) N N - N / 10 N - 1 = 9 p ( 1 - p ) N - 1

Observamos que a variância fica maior para tamanho total N. Nós concluímos que isso de sempre definir

n = N 10

funciona bem para N grande, mas pode ser problemático para N menor

Resposta

Use a variância da medição para concluir que isso funciona para grandes tamanhos do lote.

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Se XeY são variáveis aleatórias de Poisson independentes com parâmetros λ 1eλ 2 , respectivamente, calcule a distribuição de X + Y .
Seja X uma variável aleatória com distribuição de Poisson com parâmetro λ . Determine P ( X ∈ A ) , onde A = { 0,2 , 4,6 , 8 , … } .
Considere X uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ . a) mostre que E X n = λ E x + 1 n - 1 ; b) calcule E x 4 ; c) determine E x ! ,p a r a0λ1 ; d) determine E cos ⁡ π x ev a r [ cos ⁡ π x ] .
Supondo que o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo especificado é uma variável aleatório de Poisson com parâmetro λ . Se cada evento é contado com probabilidade p , independentemente
Seja X uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ . Mostre que P { X = k } atinge o valor máximo para k = n + 1 p .