Lista de Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Você vai fazer uma análise estatística com dados de carros que passam pelas catracas do estacionamento da PUC – Rio. Foram coletados a quantidade, marcas e placas dos veículos que entraram no estacionamento em 1 semana (segunda a sábado; 6 dias).

Considerando somente o último algarismo das placas dos veículos da amostra (0 a 9), responda: (identifique qual é o modelo probabilístico em cada caso).

a) Pelos dados, durante toda a semana (segunda a sábado), passaram pelas catracas 5 carros da marca BMW no estacionamento; ou seja, um evento realmente “raro”. Qual a probabilidade de entrar mais que 2 carros da marca BMW em um dia qualquer da semana?

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  1. Defina um experimento que caracterize uma variável aleatória Poisson. Dê um exemplo real.

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Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.

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Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 2.000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha:

a) Nenhum corte?

b) No máximo dois cortes?

c) Pelo menos dois cortes?

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Em uma seção de uma auto-estrada, o número de buracos, que é bastante significante para requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson com média de dois buracos por quilômetro.

  1. Qual é a probabilidade de que não haja buracos que requeiram reparo em 5   k m de auto-estrada?
  2. Qual é a probabilidade de que no mínimo um buraco requeira reparo em 0,5   k m de auto-estrada?
  3. Se o número de buracos estiver relacionado à carga do veículo na auto-estrada e algumas seções dessa auto-estrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de veículos, enquanto outras seções estiverem sujeitas a uma carga leve de veículos, como você se sente a respeito da suposição de distribuição de Poisson para o número de buracos que requeiram reparo?

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O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2 . As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto.

a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

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a) Se “X” é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson.

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Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson.

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Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, X , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que T seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.

(b) Qual é a probabilidade de que em um intervalo de tempo de 6 segundos não haja desintegrações?

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Um vendedor de seguros vende em média 3 apólices por semana (7 dias). O número de apólices vendidas pode ser modelada por uma distribuição de Poisson.

  1. Calcule a probabilidade de que ele venda 2 ou mais apólices numa dada semana;
  2. Foram escolhidas 4 semanas aleatoriamente, de maneira que se possa supor independência das vendas entre as semanas. Deseja-se saber a probabilidade de em exatamente 3 semanas, entre as 4 escolhidas, terem sido vendidas 2 ou mais apólices;
  3. Calcule a probabilidade de que ele venda 1 apólice durante um período de 5 dias.

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Uma fonte radioativa emite partículas segundo um processo de Poisson com taxa de 3 partículas por segundo. Qual a probabilidade da fonte emitir pelo menos 5   partículas em 2 segundos?

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Uma fonte radioativa é observada durante 6 intervalos de tempo, cada um de 10 segundos de duração. O número de partículas emitidas ( X ) , durante cada intervalo, tem uma Distribuição de Poisson com parâmetros λ = 0,5 partículas/segundo.

  1. Qual a probabilidade – para um intervalo de tempo – de que 5 ou mais partículas sejam emitidas?
  2. Qual a probabilidade de que, em pelo menos 1 dos 6 intervalos de tempo, 5 ou mais partículas sejam emitidas?

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a) Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson.

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  1. Defina um experimento que caracterize uma variável aleatória Poisson. Dê um exemplo real.

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  1. Defina um experimento que caracterize uma variável aleatória Poisson. Dê um exemplo real.

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Uma loja vende em média 3 microcomputadores por dia. Admita que a demanda por este produto segue uma distribuição de Poisson. Ao verificar o estoque, observa-se existirem 2 microcomputadores. Sabe-se que a nova remessa só chegará depois de alguns dias. Qual a probabilidade de que, no fim desse período, a loja não tenha deixado de atender, por falta de estoque, as pessoas que vierem comprar quando:

a) A nova remessa chega em 1 dia?

b) A nova remessa chega em 2 dias?

Suponha que agora esta loja faz parte de uma rede composta por 4 lojas, e que há independência entre as demandas por computadores nas 4 lojas. Em cada uma das lojas há 2 computadores em estoque e a nova remessa chegará em 1 dia. O controlador geral do estoque receberá uma advertência se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for suficiente para atender a demanada.

c) Qual a probabilidade do controlador receber essa advertência?

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Uma empresa faz transporte de material por meio de caminhões e o volume de encomendas que ela recebe oscila ao longo do tempo. Admita que, escolhendo ao acaso um dia de trabalho:

• O número de entregas a serem feitas segue uma distribuição de Poisson com média de 5 entregas/dia;

• A empresa pode contratar, por empreitada, trabalhadores autônomos que constam de uma lista de 6 nomes. Todos eles tem a mesma chance p de virem a ser contratados para servir à empresa naquele dia, e há independência entre as decisões de se contratar ou não relativas aos diversos trabalhadores da lista;

• O número de caminhões usados para realizar os serviços naquele dia pode ser igual a: 1 (com probabilidade 0,15), 2 (com probabilidade 0,60), ou 3 (com probabilidade 0,25).

Pergunta-se:

(a) Qual é a probabilidade de que nesse dia sejam feitas no máximo 4 entregas, dado que ocorrerão pelo menos 3 entregas?

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Suponha que o número de candidatos a participar em determinado curso seja uma v.a. cuja distribuição é uma Poisson com média de 4 inscrições. Se não houver um mínimo de 3 interessados o curso não será oferecido. Por outro lado, na sala há somente 5 computadores e, nas aulas, cada computador será utilizado por apenas um aluno. Calcule a probabilidade:

(a) de que haja mais interessados do que vagas;

(b) de que o curso não seja oferecido por escassez de inscrições (arredonde o resultado para 2 casas decimais);

(c) condicional de que todos os interessados consigam se inscrever dado que foi atingido o número mínimo de inscrições.

(d) de num ano em que houver 6 tentativas independentes de se oferecer este curso, em exatamente 2 delas o curso seja cancelado por escassez de inscrições.

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O pessoal de controle de qualidade de uma empresa de asfalto, afirma que uma das rodovias que conecta o Rio de Janeiro com Minas gerais apresenta em média um buraco a cada 50   k m . Admitindo que a distribuição do número de buracos a cada 50   k m é modelado por uma distribuição de Poisson, calcule as probabilidades:

  1. De que não exista nenhum buraco em 30   k m
  2. De ocorrerem no máximo dois buracos em 125   k m
  3. De ocorrer pelo menos um buraco em 100   k m

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Suponha que o número de passageiros em uma viagem de Uber Juntos, do Fundão à Zona Sul ho horário de retorno, oferecida diariamente pelo motorista Carlos, seja uma v.a que segue uma distribuição de Poisson com média de 2 passageiros interessados. No carro, além do motorista, há somente 4 lugares disponível. Se não houver um mínimo de 3 passageiros, o custo-benefício não é eficiente e neste caso, Carlos não realiza a viagem. Calcule a probabilidade:

  1. De que, em um determinado dia, tenha mais interessados na viagem de Carlos do que vagas em seu carro;
  2. De que a viagem não se realize por falta de passageiros interessados (arredonde o resultado para 2 casa decimais);
  3. De numa semana com 5 dias de tentativas dessas viagem, exatamente 3 delas não tenham sido realizadas por número insuficiente de passageiros. Assuma independência do número de passageiros entre os dias;
  4. Condicional de que todos os interessados consigam a viagem dado que doi atingido o número mínimo de passageiros.

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O administrador de um hospital estudou o número de emergências cardíacas diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, concluiu que elas estão distribuídas de acordo com um modelo de Poisson, com média de 4 emergências por dia.

  1. Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido mais de 2   emergências?
  2. Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três emergências?

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a) Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson.

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a) Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson.

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O pessoal de controle de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas a cada 50 metros é modelado por uma Poisson, calcule as probabilidades:

  1. De que não exista nenhuma emenda em um rolo de 125 metros.
  2. De ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros.
  3. De ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros.

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O administrador de um hospital estudou o número de emergências cardíacas diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, conclui que elas estão distribuídas de acordo com um modelo de Poisson, com média de três emergências por dia.

  1. Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido, mais de 2 emergências?
  2. Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três emergências?

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Suponha que um livro-texto de 400 páginas apresente um total de 40 erros. Suponha também que os erros estão distribuídos aleatoriamente ao longo do texto. Apresente para cada item uma variável aleatória e um modelo probabilístico adequado para ela. Observe que nos itens (a), (b) e (c) você está modelando uma contagem de eventos em um espaço fixo definido (use Poisson). Calcule a probabilidade de que:

(a) Numa página, aleatoriamente selecionada, não haja erro algum;

(b) Um capítulo de 20 páginas apresente 2 ou mais erros;

(c) Um capítulo de 50 páginas apresente exatamente 3 erros;

(d) Num grupo de 5 capítulos, todos de 20 páginas, exatamente 3 capítulos apresentem 2 ou mais erros.

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Sabe-se que ocorre, em média, um acidente por dia numa certa estrada. Além disso, o número de ocorrências de acidentes ao longo de um intervalo de tempo de duração fixa segue uma distribuição de Poisson. Calcular a probabilidade de que:

  1. num determinado dia ocorressem pelo menos 3 acidentes. (calcule o resultado com 2 casas decimais);
  2. num grupo de 4 dias houvesse exatamente 2 dias, dos 4 selecionados, com pelo menos 3 acidentes por dia.

Obs.: Para simplificar os seus cálculos, use nas contas os valores (aproximados) que constam na tabela abaixo:

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Você vai fazer uma análise estatística com dados de carros que passam pelas catracas do estacionamento da PUC – Rio. Foram coletados a quantidade, marcas e placas dos veículos que entraram no estacionamento em 1 semana (segunda a sábado; 6 dias).

Considerando somente o último algarismo das placas dos veículos da amostra (0 a 9), responda: (identifique qual é o modelo probabilístico em cada caso).

  1. Seja o evento: “o terceiro carro a entrar no estacionamento tem final 1 a 3”. Qual a probabilidade deste sucesso acontecer no terceiro carro a entrar no estacionamento?
  2. Em um determinado período do dia constatou-se que existem somente 20 vagas livres e que nenhum carro iria sair por se tratar de horário de prova. Vinte carros estão na fila para entrar. Qual a probabilidade de menos que 2 carros desta fila serem placa final igual a 3?
  3. Pelos dados, durante toda a semana (segunda a sábado), passaram pelas catracas 5 carros da marca BMW no estacionamento; ou seja, um evento realmente “raro”. Qual a probabilidade de entrar mais que 2 carros da marca BMW em um dia qualquer da semana?

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Suponha que X i , i =   1 , … ,   50 , sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com parâmetro λ = 0,03 . Faça S   =   X 1   + … +   X 50 . Observação: a soma de variáveis aleatórias de Poisson independentes tem distribuição de Poisson.

(b) Calcule o valor exato da probabilidade   P ( S ≥ 3 ) .

OBS: Aqui se trata de aproximar uma distribuição discreta por uma contínua. Então, da mesma forma como foi visto no caso da aproximação de Binomial por Normal, cabe usar uma correção de continuidade.

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Seja X uma variável aleatória discreta que corresponde à durabilidade de uma peça, em anos incompletos. A função de distribuição acumulada de X é dada por:

F x = 0     s e   x < 0 1 2   s e   0 ≤ x < 1 3 5   s e   1 ≤ x < 2 4 5   s e   2 ≤ x < 3 9 10   s e   3 ≤ x < 4 1   s e   x ≥ 4

(a) Determine a função de probabilidade de X .

(b) A grandeza Y = 2 X + 3 é considerada uma característica de qualidade importante do processo de produção. Calcule o valor esperado de Y .

(c) A durabilidade de uma peça similar produzida por meio de um novo processo de fabricação é W . Se W é uma Poisson de parâmetro 2, independente de X , calcule a probabilidade de que uma peça produzida pelo novo processo dure menos que uma peça produzida pelo processo original, ou seja, P ( W < X ) .

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Um aluno de educação física, conhecido na escola por ser “bom de pontaria”, é desafiado pelos amigos num jogo de basquete. O desafio consiste em fazer 20 lances livres de forma independente ao cesto de basquete e avaliar sua performance nessas jogadas. Sabe-se que em média a cada 20 lançamentos ele acerta 15. Com base nesta informação, responda as perguntas a seguir.

a) Calcule a probabilidade do aluno acertar ao menos 17 das 20 jogadas.

b) Calcule a variância do número de acertos ao cesto nas 20 jogadas.

c) O professor de basquete da escola decide entrar na brincadeira e fazer o desafio. Sabe-se que a probabilidade do professor errar o arremesso ao cesto é de 0,01. Usando a aproximação da Binomial pela Poisson, calcule a probabilidade do professor errar no máximo 2 vezes em 300 lançamentos ao cesto.

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