Enunciado

Considere os dados resumidos a seguir sobre o módulo de elasticidade (106 libras por polegada quadrada ou psi) para madeiras de três diferentes categorias (bem próximos dos valores usados no artigo "Bending Strength and Stiffness of Second-Growth Douglas-Fir Dimension Lumber" (Forest Products J., 1991, p. 35-43), com a exceção de que o tamanho das amostras no artigo era maior):

Use esses dados e o nível de significância de 0,01 para testar a hipótese nula de que não há nenhuma diferença na média do módulo de elasticidade nas três categorias.

Passo 1

As hipóteses de interesse são

H 0   :   μ i =   μ j ,   i ≠ j

Versus a hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   u m   d o s   μ i   é   d i f e r e n t e

Onde μ 1 ,   μ 2 ,   e   μ 3 são as médias verdadeiras correspondentes do módulo de elasticidade grau 1,2 e 3, respectivamente.

Os quadrados médios são

M S T r = 1 I - 1 S S T r ;

M S E = 1 I J - 1 S S E

F é a razão dos dois quadrados médios

F = M S T r M S E

Passo 2

Os graus de liberdade são

I - 1 = 3 - 1 = 2 ;

I J - 1 = 3 10 - 1 = 27

I J - 1 = 3 ∙ 10 - 1 = 29

A grande média x -

x - . .   = 1 I J ∙ x . .   = 1 I ∑ i = 1 I x - i = 1 3 1.63 + 1.56 + 1.42

= 1.3567

A soma dos quadrados do tratamento é

S S T r =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J ( x - i . - x - . . ) ² =   J ∙ ∑ i = 1 I ( x - i . - x - . . ) ²

= 10 1.63 - 1.5367 2 + 1.56 - 1.536 2 + 1.42 - 1.5367 2

= 0.2286

A soma dos quadrados do erro é

S S E =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j - x i - 2 = J - 1 s 1 2 + s 2 2 + s 3 2

= 10 - 1 0.27 2 + 0.24 2 + 0.26 2

= 1.7829

Passo 3

Os quadrados médios podem ser calculados agora como

M S T r = 1 3 - 1 S S T r = 1 2 0.2286 = 0.1143 ;

M S E = 1 3 10 - 1 1.7829 = 0.066

O valor da estatística F é

f = M S T r M S E = 0.1143 0.066 = 1.73

Você pode tirar conclusões sobre as hipóteses olhando para o valor crítico de F ou um valor de P. Lembre-se que as hipóteses de interesse são

H 0   :   μ i =   μ j ,   i ≠ j

versus hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   u m   d o s   μ i   s ã o   d i f e r e n t e s

O valor de PP é a área à direita do valor de ff sob a curva FF onde FF tem distribuição de Fisher com graus de liberdade 2 e 27; portanto

P = P F > f = P F > 1.73 = 0.1964

que foi calculado usando software (você pode estimá-lo usando a tabela no apêndice). Porque

P = 0.1964 >   α q u a l q u e r   r a z o á v e l   α

Não rejeitamos a hipótese nula em qualquer nível de significância. Não há diferença estatisticamente significativa nas médias verdadeiras entre as três séries.

Resposta

Não rejeitamos a hipótese nula em qualquer nível de significância. Não há diferença estatisticamente significativa nas médias verdadeiras entre as três séries.

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