Enunciado

Considere a distribuicao exponencial deslocada f(x)=AeA.

Quando 0-0.essa densidade se reduz a distribuicao exponencial usual.

Quando 9>0.ha somente probabilidade positiva para a direita de 0.

  1. Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de e 0.baseado em uma amostra aleatoria de tamanho n.
  2. Descreva uma situacao pratica em que alguem suspcitaria que a distribuicao exponencial deslocada fosse um modelo plausivel.

Passo 1

A variável aleatória X tem a distribuição exponencial deslocada.

A função de densidade de probabilidade de X é

f ( x ) = λ e - λ ( x - θ ) ; x = 0,1 , 2 , … n

Letra a:

Vamos encontrar o estimador de probabilidade máximo de λ e θ com base na amostra aleatória de tamanho n.

L ( λ ) = ∏ i = 1 n   f x i , θ = λ e - λ x 1 - θ ⋅ λ e - λ x 2 - θ ⋅ … ⋅ λ e - λ x n - θ = λ n e - λ x 1 - θ + - λ x 2 - θ + … + - λ x n - θ = λ n e - n λ ∑ i = 0 n   x i - θ

Passo 2

Agora, vamos pegar o logaritmo de ambos os lados

l o g ⁡ L ( λ ) = l o g ⁡ λ n e - n λ ∑ i = 0 n   x i - θ = l o g ⁡ λ n + l o g ⁡ e - n λ ∑ i = 0 n   x i - θ = n l o g ⁡ λ - n λ ∑ i = 0 n   x i - θ

Diferencie em relação a λ e igualar a zero:

dlog ⁡ L λ d λ = n λ - n λ ∑ i = 0 n   x i - θ = 0 n λ = n λ ∑ i = 0 n   x i - θ λ 2 = 1 ∑ i = 0 n   x i - θ λ ^ = 1 ∑ i = 0 n   x i - θ

Agora, vamos diferenciar em relação a θ e igualar a zero.

d l o g ⁡ L ( θ ) d θ = 0 - n λ ∑ i = 0 n   x i - θ ( - 1 ) = 0

n λ ∑ i = 0 n   x i - θ = 0 ∑ i = 0 n   x i - θ = 0 ∑ i = 0 n   x i - n θ = 0 ∑ i = 0 n   x i = n θ 1 n ∑ i = 0 n   x i = θ θ ^ = x -

Passo 3

Letra b:

A variável aleatória X mudou a distribuição exponencial com parâmetros λ e β .

A função de densidade de probabilidade é

f ( x ) = 1 β e - ( x - λ ) β  if  x ≥ λ

A distribuição exponencial deslocada é um modelo plausível se não temos interesse em saber a distribuição de probabilidade da distribuição exponencial deslocada com os parâmetros λ = 0.5 e β = 0.25

Resposta

  1. λ ^ = 1 ∑ i = 0 n   x i - θ  and  θ ^ = x -
  2. A distribuição exponencial deslocada é um modelo plausível se não temos interesse em saber a distribuição de probabilidade da distribuição exponencial deslocada com os parâmetros λ = 0.5 e β = 0.25
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Refaça o problema anterior, admitindo agora que um mesmo funcionário não pode atender a duas firmas.
Refaça o problema anterior, admitindo agora que um mesmo funcionário não pode atender a duas firmas.
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