1.

Os dados da tabela abaixo são referentes a peso ( k g ) e comprimento ( d m ) de manilhas de cimento para uso em obras públicas. Calcule para as características avaliadas (peso e comprimento) as seguintes estatísticas:

  1. Variância e desvio-padrão;
Resolução
2.

Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas como contendo 100 unidades. Em uma construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98 ,   102 ,   100 ,   100 ,   99 ,   97 ,   96 ,   95 ,   99   e   100 . Calcule as medidas resumo de dispersão.

Resolução
3.

Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos média de 162,2   c m e desvio padrão de 8,01   c m . O peso médio desses mesmos indivíduos é 52   k g , com um desvio padrão de 2,3   k g . Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso?

Resolução
4.

Será mera coincidência?

Considere o seguinte conjunto de dados:

a) Calcule as variâncias amostrais de X e de Y, ou seja, S x 2   e   S Y 2

b) Construa uma nova variável Z = X + Y e calcule a sua variância amostral S z 2

c) Compare S z 2 com S x 2 + S y 2 + 2 S x y

d) Como você explica essa coincidência?

Resolução
5.

Numa classe com 12   alunos de um curso de inglês, os alunos indicaram o número de outras línguas (além de português e inglês) com que tinham alguma familiaridade. O resultado foi o seguinte :   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   2 ,   2   e   4 . Obtenha as medidas resumo de dispersão (variância e desvio padrão).

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6.

A tabela abaixo apresenta o número de gols sofridos pela seleção brasileira de futebol em cada uma das edições da copa do mundo.

  1. Qual é o número médio de gols sofridos pela seleção por edição da copa? Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação do número de gols sofridos.
Resolução
7.

Determinada indústria suspeita que está recebendo, de um certo fornecedor, peças de aço fora das especificações. Ela decidiu então avaliar a quantidade de carbono e a dureza do aço de tais peças. Para isso, usou nove peças e obteve as seguintes medidas:

x = T e o r   d e   c a r b o n o   ( % )   1,41 1, 24 0,95 1,13 1,21 1,32 1,05 1,02 1,29

y = D u r e z a   R o c k w e l l 386 364 331 353 365 374 341 335 369

  1. O fornecedor do aço diz que o teor de carbono deve ser de ( 1,2   ± 0,08 ) = ( m é d i a   ± d e s v i o   p a d r ã o ) . Calcule a média amostral e o desvio padrão amostral do teor de carbono. Use os valores obtidos, e apenas os seus conhecimentos de Análise Exploratória, para comentar se há evidências contra ou a favor da afirmação do fornecedor.

Para facilitar: ∑ x i = 10,62 , ∑ x i 2 = 12,7186 e ∑ x i y i = 3820,05 .

Resolução
8.

Temos dois conjuntos de dados:

x 1 ,   x 2 , … , x m , de tamanho m , cuja média é x ̄ e cuja variância é s x 2 ; e

y 1 ,   y 2 ,   . . . ,   y n , de tamanho n , cuja média é y ̄ e cuja variância é s y 2 ; e

eles foram unidos para formar um novo conjunto de dados x 1 ,   x 2 ,   . . . ,   x m ,   y 1 ,   y 2 ,   . . . ,   y n de tamanho m + n , cuja média é z ̄ e cuja variância é s z 2 .

(a) Calcule média e variância do conjunto de dados: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.

(b) Prove que z ̄ =   m ⋅ x ̄ + n ⋅ y ̄ m + n

(c) Prove que s z 2 = ( m - 1 ) ⋅ s x 2 + m ⋅ ( x ̄ - z ̄ ) 2 + ( n - 1 ) ⋅ s y 2 + n ⋅ ( y ̄ - z ̄ ) 2 m + n - 1

Sugestão: use as identidades: ∑ i = 1 m ( x i - z ̄ ) 2 = ∑ i = 1 m ( x i - x ̄ +   x ̄ - z ̄ ) 2 e ∑ i = 1 n ( y i - z ̄ ) 2 = ∑ i = 1 n ( y i - y ̄ +   y ̄ - z ̄ ) 2 . No 1° somatório faça a i = x i - x ̄ e b   =   x ̄ - z ̄ , ficando com ∑ i = 1 m ( a i 2 + b 2 + 2 ⋅ a i ⋅ b ) . Faça algo análogo com o 2° somatório.

(d) Usando o que deve ser provado nos itens (b) e (c), recalcule a média e a variância do conjunto de dados do item (a). Desta vez, divida os dados em um primeiro conjunto com as 5 primeiras observações e um segundo conjunto com as 7 últimas observações

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