Enunciado

Considere a situação do Exercício de revisão 5.99. Determinou-se que o plano amostral deveria ser extenso o bastante para que houvesse uma alta probabilidade, digamos de 0,9, de que se até dois defeitos existirem no lote de 50, pelo menos um deve ser encontrado na amostragem. Com essas restrições, quantos dos 50 deveriam ser amostrados?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Vamos usar X para representar o número de itens defeituosos na amostra de tamanho n ( ≥ 2 ) do lote de 50 contendo 2 defeituosos.

Portanto, X tem uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N = 50 e k = 2 .

A função massa de probabilidade de X é:

h x ; N = 50 ,   n ,   k = 2 = k x N - k n - x N n

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

A probabilidade de que pelo menos 1 defeituoso seja encontrado na amostra de tamanho n do lote contendo 2 defeituosos.

P 1 ≤ X ≤ 2 = 1 - P X = 0

= 1 - 2 0 50 - 2 n - 0 50 n

= 1 - 48 n 50 n

Agora, podemos encontrar o tamanho da amostra n .

A probabilidade de que pelo menos 1 item defeituoso seja encontrado na amostra de tamanho n do lote contendo 2 defeituosos é 0,9 .

1 - P X = 0 = 0,9

P X = 0 = 0,1

48 n 50 n = 0,1

48 ! n ! 48 - n ! 50 ! n ! 50 - n ! = 0,1

1 ( 50 ) ( 49 ) 50 - n 49 - n = 0,1

( 50 - n ) ( 49 - n ) 50 49 = 0,1

2450 - 99 n + n 2 = 245

Usando Bhaskara, encontramos:

n 1 = 65       e n 2 = 34

Como n ≤ N = 50 , logo, o único valor possível é n = 34 .

Resposta

n = 34

Exercícios de Livros Relacionados

A cada hora, 10.000 latas de refrigerante são cheiaspor uma máquina, dentre as quais 300 latas não são totalmente enchidas. A cada hora, 30 latas de refrigerante sãoselecionadas aleatoriamente e o pes
Uma grande empresa tem um sistema de inspeçãopara os lotes de pequenos compressores comprados devendedores. Um lote típico contém 15 compressores.No sistema de inspeção, uma amostra aleatória de cinco
Determine a probabilidade de se distribuir umamão de bridge (jogo de cartas) de 13 cartas, com cincoespadas, duas copas, três ouros e três paus.
Uma urna contém três bolas verdes, duas azuis equatro vermelhas. Em uma amostra aleatória de cincobolas, determine a probabilidade de que ambas as bolasazuis e pelo menos uma vermelha sejam selecionad
Um clube de estudantes estrangeiros lista como membros dois canadenses, três japoneses, cinco italianos e doisalemães. Se um comitê de quatro estudantes for selecionado aleatoriamente, determine a pro