Enunciado

Use a função gama com y = 2 x para mostrar que Γ ( 1 / 2 ) = π .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A função de densidade de uma variável com distribuição gama é:

f x ; α ,   β = 1 β α Γ α ∫ 0 ∞ x α - 1 e - x / β d x ,                           x > 0 0 ,                                                                                 c a s o   c o n t r á r i o

E a distribuição gama é definida como:

Γ α = ∫ 0 ∞ x α - 1 e - x d x

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Vamos definir u = x , logo, nós temos x = u 2 .

A partir da definição acima, temos que:

d x = 2 u d u

Então, juntando com a distribuição gama, ficamos com:

Γ α = 2 ∫ 0 ∞ u 2 α - 1 e - u 2 d u

Se α = 1 / 2 , pela equação acima:

Γ 1 2 = 2 ∫ 0 ∞ x 1 - 1 e - u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ e - u 2 d u

Nos resta calcular a integral que encontramos.

Γ 1 2 2 = Γ 1 2 Γ 1 2

= 2 ∫ 0 ∞ e - u 2 d u 2 ∫ 0 ∞ e - v 2 d v

= 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e - u 2 + v 2 d v d u

Agora, vamos definir a transformação da seguinte forma:

u = r c o s   θ ,   v = r s e n   θ

E os novos limites são 0 ≤ r ≤ ∞ e 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

Calculando o Jacobiano da transformação, temos:

J = cos ⁡ θ             - r s e n   θ s e n   θ                       r c o s   θ = r c o s 2   θ + r s e n 2   θ = r

Portanto, voltando a integral:

Γ 1 2 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e - u 2 + v 2 d v d u

= 4 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 ∞ e - r 2 r d r d θ

= 4 ∫ 0 π / 2 d θ ∫ 0 ∞ e - r 2 r d r

= 4 π 2 - 1 2 ∫ 0 - ∞ e u d u

= - π 0 - 1

Γ 1 2 2 = π

Sendo assim, como o enunciado nos pediu para mostrar:

Γ 1 2 = π

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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