Enunciado

Considere uma variável aleatória X com resultados possíveis:0,1,2,... Suponha que P X = j = 1 - a a j ,   j = 0 , 1,2 , …   Para que valores de a o modelo acima tem sentido? Verifique que essa expressão representa uma legítima distribuição de probabilidade. Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e t.

P X > s + t   X > s = P ( X ≥ t )

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a probabilidade desses eventos. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

P X = j = 1 - a a j ,   j = 0,1 , 2 , …  

Com esses valores, sabemos que podemos criar um espaço amostral com todas as possibilidades entre esses números.Dessa forma, podemos escrever do seguinte jeito:

X , Y = X 1 ,   Y 1 , X 1 ,   Y 2 , … ,   X n ,   Y n

P A ∪ B ∪ C   = P A + P B + P C - P A ∩ B - P A ∩ C - P B ∩ C + P A ∩ B ∩ C

P A B = P A ∩ B P B

Substituindo a relação na probabilidade, temos que:

A → p x i ≥ 0  

a j + 1 ≤ a j

a j + 1 a j ≤ a j a j

a j > 0 →     0 < a ≤ 1

B → ∑ p x i

∑ 1 - a a j = 1

1 - lim ⁡ a j = 1 →   - 1 < a < 1

0 < a < 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

P X > s + t   X > s = P X > s + t P X > s

P X > s + t   X > s = P ( X ≥ t )

Resposta

0 < a < 1

P X > s + t   X > s = P ( X ≥ t )

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