Enunciado

Contrastes Múltiplos. Quando consideramos testar a hipótese μ i   =   μ j dentre as I médias,

a região crítica de nível a será dada por

y i - - y j - > t α / 2 S e 1 n i + 1 n j             ( 15.45 )

na qual t α / 2 encontra-se na Tabela V , com n   –   I graus de liberdade e tal que P ( | t |   >   t α / 2 )   =   α .

Passo 1

A aplicação desse método apresenta um problema, que tem sido bastante estudado e é

conhecido como o problema de contrastes múltiplos.

No nosso Exemplo 15.1 , com quatro observações por grupo de idade, teremos de aplicar ( 15.45 ) para cada uma das   m = 5 2 = 10 possíveis comparações de médias duas a duas.

Se α

=   0,05 , por exemplo, teremos

P y i - - y j - ≤ t α 2 S e 1 2 = 0,95         15.46

Passo 2

E a probabilidade de que se verifiquem as dez condições ( 15.46 ) , supondo independência,

é 0,95 10 =   0,598 , e não 0,95 .

Portanto, aplicando-se o teste várias vezes, é provável que apareçam diferenças entre

grupos, mesmo que elas não existam.

Um método que resolve o problema é baseado na desigualdade de Bonferroni.

Seja A l o evento que consiste em rejeitar a hipótese μ i   =   μ j , sendo que essa hipótese é verdadeira.

Suponha que   P ( A l )   =   α . Se B for o evento tal que rejeitamos pelo menos uma das hipóteses,

quando ela é verdadeira, então

B   =   A 1   ∪   A 2   ∪   . . .   ∪   A m .

Passo 3

Segue-se da desigualdade de Bonferroni que

P B = P ( A 1   ∪   A 2   ∪   . . .   ∪   A m ) ≤ ∑ l = 1 m P A l = m α

Se indicarmos por α * a probabilidade do erro do tipo I global para os mcontrastes, P B ≤ α * , logo tomamos o nível de cada contraste como

α   =   α * / m .

Passo 4

Para m grande,   α pode sertão pequeno que não o encontramos em tabelas da distribuição

t de Student. Pode-se usar a aproximação

t v α ≈ 1 - z α + 1 4 v - 1 ,

na qual v   é o número de graus de liberdade do distribuição   t e Z α é o valor da N ( 0 ,   l ) tal que P ( Z > Z α )   = α .

Resposta

Assim, conclui-se o resultado.

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