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Suponha que, ao realizar um experimento, ocorra o evento A com probabilidade p ou não ocorra A (ou seja, ocorre A c   com probabilidade 1   –   p ). Repetimos o experimento de forma independente até que o evento A ocorra pela primeira vez.

Seja X   = número de repetição do experimento até que se obtenha A pela primeira vez. Então,

P X = j = 1 - p j - 1 × p ,   j = 1,2 , 3 , … ,

Pois se X   =   j , nas primeiras j   –   1 repetições A não ocorrem, ocorrendo na j-ésima.

  1. Prove que ∑ j - 1 ∞ P X = j = 1 .  
  2. Mostre que E X = 1 / p   e V a r X = 1 - p / p 2 .
  3. Se s e t   são inteiros positivos, então:

P X > s + t X > s = P X > t

Essa propriedade nos diz que a distribuição geométrica não tem memória. Essa propriedade é compartilhada pela distribuição exponencial, a ser estudada no Capítulo   7 .

Passo 1

Em a ,   temos que dado X = número de repetição do experimento até que se obtenha A pela primeira vez. Assim:

P X = j = 1 - p j - 1 × p ,   j = 1,2 , 3 , ⋯ , ⇒ ∑ j = 1 ∞ P X = j = p × ∑ j = 1 ∞ 1 - p j - 1 = p × 1 1 - 1 - p = p p = 1 .

Em b ,   Vamos, inicialmente, mostrar que E X = 1 p . Sabemos que: E X = p × ∑ j = 1 ∞ 1 - p j - 1 = p × ∑ j = 1 ∞ d d q q j , onde 1 - p = q .   Além disso, d d q ∑ j = 1 ∞ q j = d d q q 1 - q   , pois ∑ j = 1 ∞ q j   converge para q 1 - q . Assim, E X = p × 1 1 - q 2 = 1 p .

Para mostrar que V a r X =   ( 1 - p ) / p 2 , observe que: V a r X = E X 2 - E X 2 = 2 - p p 2 - 1 p 2 = 1 - p p 2 .

Passo 2

Em c .   Neste item, observe que:

P X > s + t X ≥ s = P ( X > s + t ; X ≥ s ) P ( X ≥ s ) = P ( X > s + t ) P ( X ≥ s ) = ∑ k = s + t + 1 ∞ p × 1 - p k ∑ j = s ∞ p × 1 - p j

O que implica que:

P X > s + t X ≥ s = 1 - p × ∑ k = 0 s + t 1 - p k 1 - s × ∑ j = 0 s - 1 1 - p j = 1 - p t + s + 1 1 - p s

= 1 - p t + 1 = 1 - p × ∑ k = 0 t 1 - p k .

Portanto,

P X > s + t X ≥ s = ∑ k = t + 1 ∞ p × 1 - p k = P X > t ,

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Concluímos então o que nos foi pedido.

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