Enunciado

Dada a variável distribuída normalmente X com média 18 e desvio padrão 2,5 , determine

a) P ( X < 15 ) ;

b) o valor de k de modo que P X < k = 0,2236 ;

c) o valor de k   de modo que P X > k = 0,1814 ;

d) P ( 17 < X < 21 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo por aí? Vamos resolver um exercício? Vem comigo!

Vamos direto ao item a) deste exercício.

Primeiro precisamos encontrar uma relação entre X e Z .

Z = X - μ σ

Para X = 15 , temos:

Z = 15 - 18 2,5 = - 1,2

Portanto, calcular P X < 15 dá no mesmo que calcular P Z < - 1,2 com a vantagem de que para Z esse valor é tabelado.

Logo:

P X < 15 = P Z < - 1,2 = 0,1151

Simplesmente conferir na tabela quanto vale a área à esquerda de z = - 1,2 .

Passo 2

Vamos agora ao item b).

Nesse item, precisamos de alguma forma relacionar Z   e X , novamente.

Z = X - μ σ

Se X = k , temos:

Z = k - 18 2,5   ( I )

Logo, calcular P X < k equivale a calcular P Z < k - 18 2,5 com a vantagem de que este último valor é tabelado e conseguimos achar z , a partir dele.

Como foi dado no enunciado:

P X < k = P Z < k - 18 2,5 = 0,2236

Agora, vamos procurar na tabela que valor de z , satisfaz essa igualdade.

Ao procurar, encontraremos z = - 0,76

Agora voltando na equação ( I ) :

Z = k - 18 2,5 → k = Z 2,5 + 18

Para Z = - 0.76 :

k = - 0,76 2,5 + 18 = 16.1

Vamos aproveitar e fazer o item c).

Precisaremos novamente relacionar Z   e   X .

Z = X - μ σ

Se X = k , temos:

Z = k - 18 2,5   ( I I )

Logo, calcular P X > k equivale a calcular P Z > k - 18 2,5

E se usarmos a seguinte relação:

P Z > k - 18 2,5 = 1 - P Z < k - 18 2,5

E manipulando:

P Z < k - 18 2,5 = 1 - P Z > k - 18 2,5 = 1 - 0,1814 = 0,8186

Aqui eu só isolei a variável que eu quero trabalhar, pois ela tem valor tabelado, e substitui o valor dado pelo enunciado.

Show! Agora temos uma área que é um valor tabelado, procurando o respectivo valor de z para uma área a sua esquerda igual a   0,8186 achamos:

z = 0,91

Agora voltamos a relação entre Z   e   k .

Z = k - 18 2,5 → k = 0,91 2,5 + 18 = 20,275

Passo 3

Por último, mas não menos importante, calculemos:

P ( 17 < X < 21 )

Que se relacionarmos X   e   Z , Teremos:

Para X = 17 :

Z = X - μ σ = 17 - 18 2.5 = - 0.4

Para   X = 21 :

Z = X - μ σ = 21 - 18 2.5 = 1.2

Logo, calcular P 17 < X < 21 é equivalente a calcular P - 0.4 ≤ Z ≤ 1.2 com a diferença que podemos aplicar um truque a esta ultima e teremos dois valores tabelados, e então basta substituí-los:

Logo:

P - 0.4 ≤ Z ≤ 1.2 = P Z ≤ 1.2 - P Z ≤ - 0.4 = 0.8849 - 0.3446 = 0.5403 .

Resposta

a) P X < 15 = P Z < - 1,2 = 0,1151

b) k = 16.1

c) k = 20,275

d) P ( 17 < X < 21 ) = P - 0.4 ≤ Z ≤ 1.2 = 0.5403 .

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